4. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье

Задача ставится так: найти функцию , удовлетворяющую внутри круга радиуса с центром в начале координат уравнению Лапласа:

, (4.34)

непрерывную в замкнутой области и принимающую заданные значения на границе круга:

, (4.35)

где – заданная периодическая функция с периодом .

Из непрерывности решения в следует его ограниченность в .

Уравнение (4.34) в полярных координатах имеет вид:

. (4.36)

Будем искать частные решения уравнения (4.36) в виде:

. (4.37)

Подставляя в форме (4.37) в уравнение (4.36), умноженное на , получим:

,

или ,

откуда получаем два уравнения:

, (4.38)

. (4.39)

Из (4.38) находим , так что:

, . (4.40)

А при получаем .

Уравнение (4.39) является уравнением Эйлера. Полагая в этом уравнении , при получаем:

.

Отсюда , и, следовательно:

, . (4.41)

При из (4.39) находим:

.

Так как и при , то для решения внутренней задачи Дирихле нужно положить , , т.е. взять , , .

Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда:

, (4.42)

где коэффициенты , определяются из граничного условия (4.35).

При имеем:

. (4.43)

Запишем разложение в ряд Фурье:

, (4.44)

где

, , . (4.45)

Сравнивая ряды (4.43) и (4.44), получаем:

, , , . (4.46)

Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга представимо в виде ряда:

, (4.47)

где коэффициенты , , ,…, , ,… определяются по формулам (4.45).

При ряд (4.47) можно дифференцировать по и любое число раз, и, значит, функция из (4.47) уравняет уравнению .

Решение для внешней задачи Дирихле следует искать в виде ряда:

, (4.48)

где коэффициенты , определяются из граничного условия .

Для кольцевой области , образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке радиусов и (рис. 4.6), решение задачи ищется в виде ряда:

, (4.49)

коэффициенты которого , , , , , , определяются из граничных условий:

, .

Рис. 4.6. К решению задачи Дирихле для кольца

Пример. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге , принимающее на границе круга значения .

Решение задачи будем искать в виде ряда:

.

Найдем коэффициенты ряда по формулам (4.45) и (4.46).

.

.

.

Итак, получили решение в виде ряда:

.

5. Пример решения уравнения Лапласа методом Фурье

Решить методом Фурье задачу:

, , (4.50)

при граничных условиях:

, (4.51)

, . (4.52)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (1) в виде:

. (4.53)

Подставляя (4.53) в (4.50), имеем:

,

делим обе части на , получаем:

,

откуда получаем два уравнения:

, (4.54)

. (4.55)

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (4.50) вида (4.53), удовлетворяющее граничным условиям (4.51), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (4.54), удовлетворяющее граничным условиям:

, . (4.56)

Таким образом, для определения функций приходим к задаче о собственных значениях: найти решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями:

, , . (4.57)

Будем искать частные решения в виде:

, где ,

тогда

, .

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (4.54), находим:

, .

Так как , то, значит:

.

Следовательно, если будет удовлетворять данному уравнению, будет решением уравнения (4.54). Полученное уравнение называется характеристическим по отношению к уравнению (4.54). Корни характеристического уравнения комплексные (чисто мнимые). Обозначим их:

, ,

где

, .

Решения можно записать в форме:

, или .

Перепишем эти комплексные решения в виде суммы действительной и мнимой части:

, .

Общее решение уравнения (4.54) будет:

, (4.58)

где , – произвольные постоянные.

Подберем теперь постоянные и так, чтобы удовлетворялось условие (4.51). Так как (иначе будет , что противоречит поставленному условию), то функция должна удовлетворять условиям (4.51). Найдем производную функции :

. (4.59)

Подставляя значения и в равенство (4.59) получаем:

.

.

Из последнего уравнения следует: . , так как иначе и , что противоречит условию, , так как уравнение теряет смысл. Следовательно, должно быть , откуда , , получили:

, . (4.60)

Этим собственным числам соответствуют собственные функции . Таким образом, получаем:

. (4.61)

Найдем общее решение уравнения (4.55).

Составим характеристическое уравнение: , где .

Корни характеристического уравнения действительные и различны. В этом случае частными решениями будут функции:

, .

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

.

Значениям параметра соответствуют решения уравнения (4.55):

, (4.62)

где , – произвольные постоянные.

Подставим и в (4.53), получим:

. (4.63)

Уравнение (4.63) удовлетворяет уравнению (4.50) и граничным условиям (4.51) при любых постоянных , .

Сумма решений – решение уравнения (4.50), поэтому:

. (4.64)

Решение (4.64) должно удовлетворять граничным условиям (4.52):

;

;

.

Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по косинусам в промежутке . Коэффициенты определяются по известной формуле:

;

. (4.65)