2. Граничные условия

Пусть область ограничена поверхностью (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Ограниченная область трехмерного пространства

Типичной для уравнения Лапласа является задача: найти функцию , , гармоническую в и удовлетворяющую на граничному условию, которое может быть одного из следующих видов:

1. , , – первая краевая задача, или задача Дирихле;

2. , , – вторая краевая задача, или задача Неймана;

3. , , – третья краевая задача.

Здесь , , , – заданные функции; – производная в направлении внешней нормали к поверхности .

Геометрический смысл задачи Дирихле для одномерного уравнения Лапласа тривиален. Одномерные гармонические функции суть прямые линии, и задача Дирихле сводится к следующей: провести прямую через две точки и (рис. 4.2).

В зависимости от того, где ищется решение задачи – внутри области, ограниченной поверхностью или в области, расположенной вне поверхности , различают внутренние и внешние краевые задачи для уравнения . Если границей области является плоскость, то говорят, что граничная задача ставится для полупространства (пример: задача о тепловом состоянии однородного тела – внутренняя задача Дирихле, а электростатическая задача – внешняя).

Рис. 4.2. Геометрический смысл задачи Дирихле для одномерного уравнения Лапласа

3. Фундаментальные решения уравнений Лапласа

Декартовы, цилиндрические и сферические координаты являются наиболее употребительными. Рассмотрим все три системы координат и связь между ними подробнее.

Прямоугольная (декартова) система координат (рис. 4.3) в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX – ось абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось апликат.

Рис. 4.3. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y – длине отрезка OC, координата z – длине отрезка OD в выбранных единицах измерения (рис. 4.3).

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Цилиндрическая система координат

Точка P даётся как . В терминах прямоугольной системы координат:

• – расстояние от O до P', ортогональной проекции точки P на плоскость XY. Или то же самое, что расстояние от P до оси Z;

• – угол между осью X и отрезком OP';

• z – равна аппликате точки P.

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение , а в цилиндрических – очень простое уравнение . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трех измерениях посредством задания трёх координат (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Сферическая система координат

Три координаты определяются как:

• – расстояние от начала координат до заданной точки P;

• – угол между осью Z и отрезком, соединяющим начало координат и точку P;

• – угол между осью X и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой P, на плоскость XY.

Угол называется зенитным или полярным, а угол – азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть или ).

Переход от одной системы координат к другой осуществляется по определенным законам. Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

. (4.24)

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

. (4.25)

Закон преобразования координат от сферических к декартовым:

. (4.26)

Закон преобразования координат от декартовых к сферическим:

(4.27)

Закон преобразования координат от сферических к цилиндрическим:

. (4.28)

Закон преобразования координат от цилиндрических к сферическим:

. (4.29)

Оператор Лапласа в декартовых координатах определяется формулой:

;

в цилиндрических координатах :

;

в сферических координатах :

.

Большой интерес представляют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией, т.е. зависящие только от переменных или .

Пользуясь сферическими координатами, видим, что решение , обладающее сферической симметрией, определяется из обыкновенного дифференциального уравнения:

. (4.30)

Интегрируя это уравнение, находим:

, .

Полагая, например, , , получаем функцию:

, (4.31)

которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки , где обращается в бесконечность.

Если рассматривать поле точечного заряда , помещенного в начало координат, то потенциал этого поля равен .

Пользуясь цилиндрическими координатами, находим, что решение , обладающее цилиндрической или круговой симметрией (в случае двух независимых переменных), определяется из обыкновенного дифференциального уравнения:

, (4.32)

интегрируя которое, получим:

.

Выбирая , , будем иметь:

. (4.33)

Функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки , где обращается в бесконечность.