6. Примеры решения уравнения теплопроводности для различных видов граничных условий

Рассмотрим подробнее примеры задач для уравнения теплопроводности.

Решить методом Фурье задачу:

, , , (3.76)

удовлетворяющую начальному условию:

. (3.77)

По виду граничных условий возможны следующие варианты постановки задач:

Задача А). Оба конца теплоизолированы.

Задача Б). На обоих концах поддерживается постоянная температура.

Задача В). Левый конец теплоизолирован, а на правом конце поддерживается постоянная температура.

В задачах А) и Б) собственные числа определяются выражением (см. Приложение №1):

, (3.78)

а соответствующие собственные функции равны:

. (3.79)

Но в задаче А) должны выполняться следующие условия:

, , (3.80)

. (3.81)

Таким образом, уравнению (3.76) и граничным условиям задачи А) (3.80) удовлетворяют функции:

. (3.82)

Решение имеет вид:

, (3.83)

а начальное условие:

, . (3.84)

Следовательно, необходимо разложить функцию , заданную на интервале , в неполный ряд Фурье – ряд косинусов. Коэффициенты разложения находятся по формуле (см. Приложение №2):

. (3.85)

Подставляя эти выражения для в (3.83), получим искомое решение задачи.

В задаче Б) должны выполняться следующие граничные условия:

, , (3.86)

откуда следует, что

, . (3.87)

Таким образом, уравнению (3.76) и граничным условиям задачи Б) (3.86) удовлетворяют функции:

. (3.88)

Решение имеет вид:

, (3.89)

а начальное условие:

, . (3.90)

Следовательно, необходимо разложить функцию , заданную на интервале , в неполный ряд Фурье – ряд синусов. Коэффициенты разложения находятся по формуле (см. Приложение №2):

. (3.91)

Подставляя эти выражения для в (3.89), получим искомое решение задачи.

В задаче В) собственные числа (см. Приложение №1)

, (3.92)

а соответствующие собственные функции определяются выражением:

. (3.93)

Граничные условия в задаче В) определяются выражениями:

, , (3.94)

откуда вытекает, что

, . (3.95)

Таким образом, уравнению (3.76) и граничным условиям задачи В) (3.94) удовлетворяют функции:

. (3.96)

Решение имеет вид:

, (3.97)

а начальное условие имеет вид:

, . (3.98)

Коэффициенты разложения функции находятся по формуле (см. Приложение №2):

. (3.99)

Подставляя данное выражение в (3.97), получаем искомое решение задачи.

7. Пример решения однородного уравнения теплопроводности методом Фурье

Решить методом Фурье задачу:

(3.100)

при граничных условиях:

, (3.101)

и при начальном условии:

. (3.102)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (3.100) в виде:

. (3.103)

Подставляя (3.103) в (3.100), получим:

,

откуда получаем два уравнения:

, (3.104)

. (3.105)

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (3.100) вида (3.103), удовлетворяющее граничным условиям (3.101), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (3.105), удовлетворяющее граничным условиям:

, . (3.106)

Таким образом, для определения функции приходим к задаче о собственных значениях: найти решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями:

, , . (3.107)

Общее решение этого уравнения будет:

, (3.108)

где , – произвольные постоянные.

Найдем производную функции :

. (3.109)

Подставляя значения и в равенство (3.109) получаем:

.

.

Из последнего уравнения следует . , т.к. иначе было бы и , что противоречит условию, , т.к. уравнение теряет смысл. Следовательно, должно быть , откуда . Т.о. получили:

, (3.110)

Этим собственным числам соответствуют собственные функции:

. (3.111)

Значениям параметра соответствуют решения уравнения (3.104):

, (3.112)

где – произвольные постоянные.

Получили функции:

, (3.113)

которые удовлетворяют уравнению (3.100) и граничным условиям (3.101) при любых постоянных . Составим ряд:

. (3.114)

Требуя выполнение начального условия (3.102), получим:

. (3.115)

Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по косинусам в промежутке . Коэффициенты определяются по известной формуле:

. (3.116)

Найденные по выражению (3.116) коэффициентов подставляются в (3.114) давая решение задачи.