2.2. Начальное и граничные условия

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.

Начальное условие, в отличие от уравнения гиперболического типа состоит лишь в задании значений функции в начальный момент времени .

Граничные условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границах. Рассматривают три основных типа граничных условий.

1. На концах стержня задана температура:

, (3.20)

, (3.21)

где , – функции, заданные в некотором промежутке времени , в течение которого изучается процесс.

2. На концах стержня заданы значения производной:

, (3.22)

. (3.23)

К этому условию мы приходим, если задана величина теплового потока , протекающего через торцевое сечение стержня. Например, если для задана величина , то:

,

откуда , где – известная функция, выражающаяся через заданный поток формулой . Если или тождественно равны нулю, то говорят, что соответствующий конец стержня теплоизолирован.

3. На концах стержня заданы линейные отношения между функцией и ее производной:

, (3.24)

, (3.25)

где – известная функция – температура окружающей среды; – коэффициент теплообмена. Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой известна.

Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, вытекающего через сечение :

и ,

получаем математическую формулировку третьего граничного условия в виде:

, где .

Для конца стержня третье граничное условие имеет вид:

.

Граничные условия при и могут быть различных типов, так что число различных задач велико.

Первая краевая задача для ограниченного стержня состоит в следующем.

Найти решение уравнения теплопроводности:

при , , (3.26)

удовлетворяющее условиям:

, , (3.27)

, , , (3.28), (3.29)

где , , – заданные функции.

Физически условие (начальное условие) соответствует тому, что при в различных сечениях стержня задана температура, равная . Условия , (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при и поддерживается температура, равная и соответственно.

Т.е., как и для уравнений гиперболического типа, функция ищется только для и (но не при , и , , где значения функции заранее задаются начальными и граничными условиями).

3. Распространение тепла в неограниченном стержне

Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени (к задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня).

Если стержень совпадает с осью (рис.3.1), то математическая задача формулируется следующим образом. Найти решение уравнения:

(3.30)

в области , , удовлетворяющее начальному условию:

. (3.31)

Это задача Коши для уравнения теплопроводности.

Применим для нахождения решения метод разделения переменных, т.е. будем искать частное решение уравнения (3.30) в виде произведения двух функций:

. (3.32)

Подставляя в уравнение (3.30), будем иметь:

или:

. (3.33)

Каждое из этих отношений не может зависеть ни от , ни от , и потому их приравниваем к постоянной . Из (3.33) получаем два уравнения:

, (3.34)

. (3.35)

Решая их, найдем , .

Подставляя в (3.32) получаем:

, (3.36)

где постоянная включена в и .

Для каждого значения получаем решение вида (3.36). Произвольные постоянные и для каждого значения имеют определенные значения. Поэтому можно считать и функциями . В силу линейности уравнения (3.30) решением является также сумма решений вида (3.36):

. (3.37)

Интегрируя выражение (3.36) по параметру в пределах от до , также получим решение:

, (3.38)

если и таковы, что этот интеграл, его производная по и вторая производная по существуют и получаются путем дифференцирования интеграла по и . Подберем и так, чтобы решение удовлетворяло условию (3.31). Полагая в равенстве (3.38) , на основании условия (3.31) получаем:

. (3.39)

Предположим, что функция такова, что она представима интегралом Фурье: или

. (3.40)

Сравнивая правые части (3.39) и (3.40), получаем:

(3.41)

Подставляя найденные выражения и в формулу (3.38), получим:

или, переставляя порядок интегрирования, окончательно получим:

. (3.42)

Это и есть решение поставленной задачи.

Преобразуем формулу (3.42). Вычислим интеграл, стоящий в круглых скобках:

. (3.43)

Это преобразование интеграла сделано путем подстановок:

, . (3.44)

Обозначим:

. (3.45)

Дифференцируя, получаем: .

Интегрируя по частям, найдем:

или .

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:

. (3.46)

Определим постоянную . Из (3.45) следует: (т.к. ). Следовательно, в равенстве (3.46) должно быть .

Итак,

. (3.47)

Значение (3.47) интеграла (3.45) подставляем в (3.43):

.

Подставляя вместо его выражение (3.44), окончательно получаем значение интеграла (3.43):

. (3.48)

Подставив это выражение интеграла в решение (3.42), окончательно получим:

. (3.49)

Эта формула, называемая интегралом Пуассона, представляет собой решение поставленной задачи о распространении тепла в неограниченном стержне.

Установим физический смысл формулы (3.49). Рассмотрим функцию:

(3.50)

Тогда функция:

(3.51)

есть решение уравнения (3.30), принимающее при значение . Принимая во внимание (3.50), можем написать:

.

Применив теорему о среднем к последнему интегралу, получим:

, . (3.52)

Формула (3.52) дает значение температуры в точке стержня в любой момент времени, если при всюду в стержне температура , кроме отрезка , где она равна . Сумма температур вида (3.52) и дает решение (3.49). Заметим, что если – линейная плотность стержня; – теплоемкость материала, то количество тепла в элементе при будет:

. (3.53)

Рассмотрим далее функцию:

. (3.54)

Сравнивая ее с правой частью формулы (3.52) с учетом (3.53), говорят, что она дает значение температуры в любой точке стержня в любой момент времени , если при в сечении (предельный случай при ) был мгновенный источник тепла с количеством тепла .