Кинематика

ЗадачаК1

ТочкаВдвижетсявплоскостиxy(рис.К1.0–К1.9,таблицаК1;траекторияточкинарисункахпоказанаусловно).Закондвиженияточкизадануравнениями:x=f₁(t),y=f₂(t),гдеxиyвыраженывсантиметрах,t–всекундах.

Найтиуравнениетраекторииточки;длямоментавремениt₁=1сопределитьскоростьиускорениеточки,атакжееёкаса-тельноеинормальноеускоренияирадиускривизнывсоответ-ствующейточкетраектории.Построитьучастоктраектории.Нанестиначертёжвектораскорости,касательного,нормально-гоиполногоускоренийввыбранноммасштабе.

Зависимостьx=f₁(t)указананепосредственнонарисун-ках,азависимостьy=f₂(t)данавтабл.К1(длярис.0–2встолб-це2,длярис.3–6встолбце3,длярис.7–9встолбце4).КакивзадачахС1–С5,номеррисункавыбираетсяпопредпоследнейцифрешифра,аномерусловиявтабл.К1–попоследней.

УКАЗАНИЯ.ЗадачаК1относитсяккинематикеточкиирешаетсяспомощьюформул,покоторымопределяютсяско-ростьиускорениеточкивдекартовыхкоординатах(коорди-

натныйспособзаданиядвиженияточки),атакжеформул,покоторымопределяютсякасательноеинормальноеускоренияточки.

Вданнойзадачевсеискомыевеличинынужноопределитьтолькодлямоментавремениt₁=1с.

Номер

yf_2t

ТаблицаK1

^{условия} Рис.0–2 Рис.3–6 Рис.7–9

1 2 3 4



t



⁰ 12sin^{}

^6

2t^22

4co^

^s

_6

t^2





^s

t



¹ 46co^{}

^3

8sin^{}



t



^4

1416cos^{2}



t



^6



t



² 3sin^{2}

^6

2t²

4cos^{}



t



^3



³ 9sin^

_6

⁴ ^

t^4







2t³

^

10cos^{}



t



^6

^

^3cos

_3

^t^2



^22cos ^t

^4

^{4cos2 t}

^6

⁵ ^

812cos^t^

^{10sin t}

^6

23t²

 

^3



t



⁶ 26sin^{2}

^6

22sin^{}



t



^4

3cos^{}



t



^6

^2sin

_6

^t^2



t1³

^68cos ^t

^3

^s

⁸ 9co^



_3

t^5





2t³

9cos^



t



t





_6

t^3







t



⁹ 38sin^{}

4cos^{}

6cos^{}

^у _В ^у у

^s

t



x23co^{}

^6

0 ^х

x6co^

^s

_6

0

t^3





х

x4co^{}

^s

t



^6

₀ х

Рис.К1.0 Рис.К1.1 Рис.К1.2

^у у _у

x2t

0 х

x2t

0

xt4

^х 0 _х

Рис.К1.3 Рис.К1.4 Рис.К1.5

у _у

x42t

⁰ х

x12sin^{}



t



^6

0 ^х

Рис.К1.6 Рис.К1.7

^у у



t



x46sin^{}

^6

x8sin^



_6

t^2





0 ^х 0 ^х

Рис.К1.8 Рис.К1.9

ЗадачаК2

Механизмсостоитизступенчатыхколёс1–3,находящих-сявзацепленииилисвязанныхременнойпередачей,зубчатойрейки4игруза5,привязанногокконцунити,намотаннойнаодноизколёс(рис.К2.0–К2.9,табл.К2).Радиусыступенейко-лёсравнысоответственно:уколеса1–r₁₌2см,R₁₌4см;уко-леса

2–r₂₌6см,R₂₌8см;уколеса3–r₃₌12см,R₃₌16см.НаободахколёсрасположеныточкиА,ВиС.

Встолбце«Дано»таблицыуказанзакондвиженияилиза-конизмененияскоростиведущегозвенамеханизма,где₁(t)–

законвращенияколеса1,

S₄₍t)

• закондвижениярейки4,

ω₂₍t)

• законизмененияугловойскоростиколеса2,V₅(t)–за-

конизмененияскоростигруза5ит.д.(вездеφвыраженовра-дианах,S–всантиметрах,t–всекундах).Положительноена-правлениедляφиωпротивходачасовойстрелки,дляS₄,S_5иV₄,V_5–вниз.

Определитьвмоментвремениt₁₌2cуказанныевтабли-

цевстолбцах«Найти»скорости(V–линейные,ω–угловые)и

ускорения(а–линейные,ε–угловые)соответствующихто-чекилител(V_5–скоростигруза5ит.д.).

УКАЗАНИЯ.ЗадачаК2–наисследованиевращательногодвижениятвёрдоготелавокругнеподвижнойоси.Приреше-ниизадачиучесть,чтокогдадваколесанаходятсявзацепле-нии,скоростьточкизацепленияимеетуколесаоднуитужевеличину,акогдадваколесасвязаныремённойпередачей,товсеточкиремняи,следовательно,точки,лежащиенаободекаждогоизэтихколес,имеютвданныймоментвременичис-ленноодинаковыескорости;приэтомсчитается,чтоременьпоободуколесанескользит.

Номер

Дано

Найти

ТаблицаK2

условия

Скорости Ускорения

0 S₄₌4(7t–t²)

1 υ₅₌2(t²–3)

2 φ₁₌2t²–9

3 ω₂₌7t–3t²

4 φ₃₌3t–t²

5 ω₁₌5t–2t²

V_B,V_CVA,V_CV4,ω_2V5,ω_3V4,ω_1V5,V_B

ε₂,a_A,a_5ε3,a_B,a_4ε2,a_C,a_5ε2,a_A,a_4ε1,a_B,a_5ε2,a_C,a₄

⁶ ^₂

2t^23t

V₄,ω₁

ε₁,a_C,a₅

⁷ υ₄₌3t²–8

⁸ s₅₌2t²–5t

⁹ ω₃₌8t–3t²

V_A,ω₃

V₄,ω₂

V₅,V_B

ε₃,a_B,a₅

ε₁,a_C,a₄

ε₂,a_A,a₄

Рис.К2.0

Рис.К2.1

Рис.2.2

Рис.2.3

Рис.2.4

Рис.2.5

Рис.2.6

Рис.2.7

Рис.2.8

Рис.2.9

ЗадачаК3

Плоскиймеханизмсостоитизстержней1,2,3,4иползу-наВилиЕ(рис.К3.0–К3.7)илижеизстержней1,2,3иползу-новВиЕ(рис.К3.8,К3.9),соединённыхдругсдругомисне-подвижнымиопорамиО₁,О_2шарнирами;точкаDнаходитсявсерединестержняАВ.Длиныстержнейравнысоответственно:l₁=0,4м,l₂₌1,2м,l₃₌1,4м,l₄₌0,6м.Положениемеханизмаопределяетсяугламиα,β,γ,φ,θ.Значениеэтихугловидругихзаданныхвеличинуказанывтабл.К3,а(длярис.0–4)иливтабл.К3,б(длярис.5–9);приэтомвтабл.К3,аω_1иω_4–вели-чиныпостоянные.

Определитьвеличины,указанныевтаблицахвстолбцах

«Найти».

Дуговыестрелкинарисункахпоказывают,какприпо-строениичертежамеханизмадолжныоткладыватьсясоответст-вующиеуглы:походуилипротивходачасовойстрелки(на-пример,уголнарис.8следуетотложитьотDBпоходучасо-войстрелки,анарис.9–противчасовойстрелкиит.д.).По-строениечертежаследуетначинатьсострежня,направлениекоторогоопределяетсяуглом.

Заданныеугловуюскоростьиугловоеускорениесчитатьнаправленнымипротивходачасовойстрелки,азаданныеско-

ростьV_Bиускорениеa_B

• отточкиВкb(нарис.5–9).

УКАЗАНИЯ.ЗадачаК3–наисследованиеплоскопарал-лельногодвижениятвёрдоготела.

Рис.К3.0 ^Рис.К3.1

Рис.К3.2

Рис.К3.4

Рис.К3.6

Рис.К3.3

Рис.К3.5

Рис.К3.7

Рис.К3.8 Рис.К3.9

ТаблицаК3,а(крис.К3.0–К3.4)

Номерусловия

,град.

β,град.

γ,град.

φ,град.

θ,град.

Vточек

ωзвена

аточки

εзвена

Углы Дано Найти

ω1,	ω4,
1/с	1/с

0	0	60	30	0	120	6	–	B,E	DE	B	AB
1	90	120	150	0	30	–	4	A,E	AB	A	AB
2	30	60	30	0	120	5	–	B,E	AB	B	AB
3	60	150	150	90	30	–	5	A,E	DE	A	AB
4	30	30	60	0	150	4	–	D,E	AB	B	AB
5	90	120	120	90	60	–	6	A,E	AB	A	AB
6	90	150	120	90	30	3	–	B,E	DE	B	AB
7	0	60	60	0	120	–	2	A,E	DE	A	AB
8	60	150	120	90	30	2	–	D,E	AB	B	AB
9	30	120	150	0	60	–	8	A,E	DE	A	AB

ТаблицаК3,б(крис.К3.5–К3.9)

Номерусловия

α,град.

β,град.

γ,град.

φ,град.

θ,град.

Vточек

ωзвена

аточки

εзвена

Углы Дано Найти

ω1,	ε1,	VB,	аB,
1/с	1/с2	м/с	м/c2

0	120	30	30	90	150	2	4	–	–	B,E	AB	B	AB
1	0	60	90	0	120	–	–	4	6	A,E	DE	A	AB
2	60	150	30	90	30	3	5	–	–	B,E	AB	B	AB
3	0	150	30	0	60	–	–	6	8	A,E	AB	A	AB
4	30	120	120	0	60	4	6	–	–	B,E	DE	B	AB
5	90	120	90	90	60	–	–	8	10	D,E	DE	A	AB
6	0	150	90	0	120	5	8	–	–	B,E	DE	B	AB
7	30	120	30	0	60	–	–	2	5	A,E	AB	A	AB
8	90	120	120	90	150	6	10	–	–	B,E	DE	B	AB
9	60	60	60	90	30	–	–	5	4	D,E	AB	A	AB

ЗадачаК4

Прямоугольнаяпластина(рис.К4.0–К4.4)иликруглаяпластинарадиусаR=60см(рис.К4.5–К4.9)вращаетсявокругнеподвижнойосипозакону=f₁(t),заданномувтаблицеК4.Положительноенаправлениеотсчётауглапоказанонарисун-кахдуговойстрелкой.Нарис.0,1,2,5,6осьвращенияперпен-дикулярнаплоскостипластиныипроходитчерезточкуО(пла-стинавращаетсявсвоейплоскости);нарис.3,4,7,8,9осьвра-щенияОО_1лежитвплоскостипластины(пластинавращаетсявпространстве).

ПопластиневдольпрямойBD(рис.0–4)илипоокружно-стирадиусаR(рис.5–9)движетсяточкаМ;законеёотноси-тельногодвижения,т.е.зависимостьS=АМ=f₂(t)(S–выра-

женовсантиметрах,t–всекундах),заданвтаблицеотдельнодлярис.0–4идлярис.5–9;тамжеданыразмерыaиh.

НарисункахточкаМпоказанавположении,прико-торомS=AM0(приS0точкаМнаходитсяподругуюсторонуотточкиА.

НайтиабсолютнуюскоростьиабсолютноеускорениеточкиМвмоментвремениt₁=1с.

УКАЗАНИЯ.ЗадачаК4–насложноедвижениеточки.Дляеёрешенияприменяютсятеоремыосложениискоростейиосложенииускорений.

Рис.К4.0 Рис.К4.1 Рис.К4.2

Рис.К4.3 Рис.К4.4 Рис.К4.5

Рис.К4.6 Рис.К4.7

Рис.К4.8 Рис.К4.9

Номер

условия

Длявсех

ТаблицаК4

Длярис.0–4 Длярис.5–9

рисун-ков

^а, SAMf₂

см

t

^h, SAM

см

f_2t

f_it

⁰ 4t^2t

¹² 503tt^264

^{R =}R4t²

3

2t^3

¹ 3t^28t

¹⁶ 403t^2t^432 ⁴

R

3

^R2t^2t^3

2

² 6t^312t²

³ t^22t³

¹⁰ 80t^2t40

¹⁶ 60t^43t^256

^{R =}R2t²

3

R _4

1

2_

⁴ 10t^25t^{3 8}

802t^2t^348

^Rt

3

R _

• 3t

2_

⁵ 2t^2t ²⁰

60t^32t^2

^R3tt

6

R _{3 }

⁶ 5t4t²

¹² 40t^23t32 ³

^Rt

3



• 2t

R Rt^32t^2

4 2

⁷ 15t3t^{3 8}

60tt^324

^{R =}Rt5t^2

6

⁸ 2t^311t ¹⁰

50t^3t30

^{R =}R3t^2t

3

⁹ 6t^23t^{3 20}

40t2t^340 ⁴

R

3

^Rt2t^2

2