Решение:

Дляопределенияобъемателавращениявоспользуемсяформулой(6).Подставимуравнениецепнойлинии.

∫_

Vπb^a

2



_(ex/a_e−x/a₎^

_ba2

dxπ_∫

_(ex/a_e−x/a₎2_dx

^0²

_b 2

 ⁰⁴

2_b

a

π_∫

(e^2x/a2e^−2x/a)dxπ^a

_∫e2x/a_dx

0⁴

2_{b π}

⁴⁰

2_b 2_{b π} 2

π^a

_∫e−2x/a_dx

a^2x\^bπ^a

_∫e^2x/adxπ^a

_∫e^−2x/adx ^ba 

0

^{40 2 40 40 2}

интегралывычисляютсязаменойпеременных





_^{2x/at,⇒dx0,5adt,}_^{−x/at,⇒dx−0,5adt,}





_α0,⇒β2b/a.

^ _α0,⇒β−2b/a. ^

π^a

³²b/a _a

_∫e^tdt−π

³⁻2b/a

∫

e^tdt

πba²

π^a

3

_(et|2b/a_−et|−2b/a_)

⁸ 0 ⁸ 0

_π 2 3

_{2 8} 0 0

_π 2

_ ba

2

π^a

8

_(e2b/a_−e−2b/a_)

ba_.

2

3. Задачидляконтрольныхзаданий

Взадачах№№1–10вычислитьопределенныеинтегралы:

а)методомподведенияподзнакдифференциала;б)заменыпе-ременной;в)интегрированиемпочастям;

π/2

№1: а)._∫xcos(x)dx;

0

^eln(x)

x

∫

e

6

dx;_∫

3

dx _;

4x1

2_π

3 ₃

_∫sin(

x)dx;

π/6

_∫esin(

^x)cos(x)dx;

^6xdx

_∫ ;

^π/3arctg(x)

∫

dx.

0 ⁴

² xdx

0

¹ dx

3^x2−5 0

¹²x−3 ²

1x²

б)._∫

1

;

2x5

∫

^1x

2

;_∫

_x ¹⁽x2)³

2

dx;_∫x

1

x−1dx.

1 1 1

2 2 2 ^x

в)._∫arcsin(x)dx;

0

e

_∫arctg(x)dx;

0

π

2

_∫xe^3dx;

0

_∫x^2ln(x)dx;

1

2

_∫xsin(2x)dx.

0

^eln(x) ⁶

π

5dx ³

№2: а)._∫xsin(x²⁾dx;

1

∫

1^4x

dx;_∫

3

;

3x−2

_∫cos(9x)dx;

0

π/4 8

_∫e^cos(x)sin(x)dx;_∫

xdx

^π/3arctg(2x)

; _∫

dx.

0

² 3xdx

² dx

6^2x22 0

5 ₃

14x²

4

б)._∫

1

1

2

;x−0.5

∫

^1x−

1

2

;_∫

x ^3(x2)3

1

2

dx;_∫x

1

x3dx.

в)._∫arccos(x)dx;

0

e

_∫arctg(3x)dx;

0

π

2

_∫xe^2xdx;

0

_∫xln(2x)dx;

1

π

3

_∫xsin(x)dx.

0

^eln(3x)

π

⁵ 5dx ³

№3: а)._∫xsin(3x²⁾dx;_∫

0 1

dx;_∫

^x 2

;

7x5

_∫sin(7x)dx;

0

π/3 8

_∫e^cos(2x)sin(2x)dx;_∫

xdx

^π/3arcctg(x)

; _∫

dx.

0 6^x2−1

0 ^1x2

б)._∫

5

1

2

;

2x−9

∫

¹²x−

1

2

;_∫

_2x 4(x−3)³

1

2

dx;_∫x

5

x−5dx.

в)._∫arccos(2x)dx;

0

_∫arcctg(3x)dx;

0

_∫xe^−xdx;

0

e

_∫xln(

1

π

4

^x)dx;

3

_x2

π

2

_∫xcos(2x)dx.

0

x

_eln(3)

⁵ dx

^8xdx

№4: а)._∫xsin(

0

)dx;_∫

⁵ 1

dx;x

_∫ ;

²³⁷x−3

_∫ ;

6^2x23

π

3

_∫sin(x−

³⁾dx;

π/3

∫

cos(^x)

_e 3

6sin(

^x)dx;

^π/3arcctg(x)

∫

dx.

0 ² 0 ³

⁷ 2xdx ² dx ⁵ 3

0 ^1x2

7

б)._∫

3

1

2

;

2x7

x

_∫ ;

1^2x2−5

1

2

∫

3^(3x5)3

1

2

dx;

_∫x3

5

x2dx.

в)._∫arccos(

0 ⁴

)dx;

_∫arctg(3x)dx;

0

π

_∫xe^−3xdx.

0

e

_∫x^2ln(

1

π

^x)dx;

3

2

_∫xcos(x−

0

^π)dx.

4

1

4

№5: а)._∫xcos(x^2

^π)dx;

e_e^x

∫

8

dx; _∫

xdx

1/3

;_∫

¹ dx.

0 ⁴ 1^x2

π

6^2x23

0^97x2

3

_∫cos²⁽2x)dx;

π/3

∫

sin^2(x)cos(^x)dx;8 ^dx .

∫

0

7

б)._∫

0

x^{2dx 2} dx

;_∫

3 3

;

5 ₁

_∫ dx;

6^xln2

7

∫

(x)

1

dx.

³ x7

1

² x

1^2x−5

2

3^(3x5)2

1

2

5^{x2−4x3}

−x

в)._∫arctg(

0 ⁴

)dx;

_∫(x1)ln(x)dx;

1

_∫xe^2dx;

0

^e x

_∫xln(

1 ²

3

1)dx;_∫

1

xdx _.

54x

π

4

№6: а)._∫xsin(x²⁻

^π)dx;

2

e_e^x

∫

dx;

⁸ xdx ⁸ dx

_∫ ; _∫ ;

0 ³ 1^x2

π

⁶ x^23

6^xln3(x)

³ π π ^π/3 x x

cos²⁽x− )sin(x− )dx; ²

∫

0

1/3

∫

3 3

¹ dx.

_∫sin(

0

)cos

3

( )dx;

3

⁰ 9−7x²

⁷ xdx

^{2xdx 5} 1 ⁷ 1

б)._∫

4

1

2

;

x−3

x

_∫ ;

1^x−5

2

∫

3^(2x1)3

dx;

1

2

∫

5^{x2−2x3}

dx.

в)._∫xsin(

0

)dx;

4

_∫(x1)^2ln(x)dx;

1

_∫x^2exdx;

0

e 3

_∫xln(x1)dx;_∫

xdx _.

^{1 2} 1−x

π

⁴ π ⁸ dx

⁸ xdx

№7: а)._∫x^2tg(x³⁻

0

π

)dx;

3

_∫ ;

6^{(x1)ln2(x1)}

_∫ ;

⁶ 2x^27

1

2

3

_∫cos²⁽2x)sin(2x)dx;

π/3

_∫sin(x1)cos²⁽x1)dx;

e_e^x

∫

dx.

0

⁷ xdx

0

^{2xdx 5} x

1^x3

7 ₁

б)._∫

4

π

3

;

x3

_∫ ;

1^2x5

2

∫

3^{(2x21)3}

dx;

1

2

∫

5^{x22x5}

dx.

в)._∫x²sin(x)dx;

0

_∫(x1)^2ln(x1)dx;

1

_∫(2x)^2e2xdx;

0

e 4

_∫xln(2x1)dx;_∫

1 3

xdx _.

1−3x

π

4

№8: а)._∫xctg(x^2

^2π)dx;

_−1

e_e^x

∫

⁸ dx

dx; _∫ ;

0 ³ 1^(2x)2

π

^6x2(lnx)^27

⁸ dx

∫ ₄

3

;_∫cos²⁽2x)dx;

π/3

_∫cos²⁽x1)dx.

6^xln

7

б)._∫

^(x) 0

dx

0

;

^2xdx

∫

2

;_∫xe

_x2

2

5

dx;_∫

^x dx;

⁴ x^22x3

7

1^4x−1 1

3^(x21)3

_∫xln(2x)dx.

5

π

3

в)._∫xsin(2x)dx;

0

e

_∫xln(2x1)dx;

1

2

_∫(x1)^2ln(x1)dx;

1

4

_∫xe^2x−3dx.

3

1

2

_∫(2x)^2e2xdx;

0

5 ₂

№9: а)._∫x7^x

dx;

x