Теорема1

Еслинеотрицательныефункцииf(x)иg(x)удовлетворяютнапромежутке[a,+∞)неравенствуf(x)≤g(x),тогда1).Изсхо-

∞

димости_∫g(x)dx

a

∞

следуетсходимость_∫f(x)dx

a

(т.е.интеграла

∞

отменьшейфункции).2).Израсходимости_∫f(x)dx

a

следует

∞

расходимость_∫g(x)dx.

a

Теорема2

Еслидлянеотрицательныхфункцийf(x)иg(x)напроме-жутке[a,+∞)существуетконечныйпредел

lim

f(x)_K.

x→∞_g(x)

Тогда:1).Если

∞ ∞

K≠0,

тогданесобственныеинтегралы

_∫g(x)dx,

a

_∫f(x)dx

a

сходятсяилирасходятсяодновременно.

∞

2).Если

∞

K0,

тогдаизсходимости_∫g(x)dx

a

следуетсходи-

мость_∫f(x)dx.3).Если

a

∞

K∞,

тогдаизрасходимостиинте-

∞

грала_∫g(x)dx

a

следуетрасходимость_∫f(x)dx.

a

3. Рекомендациипорешениютиповыхзадач

3

Задача1.Найтиинтегралы:а)_∫

1

1x^2xdx,

3

б)_∫

dx _,в)³ dx _.

∫

1^{x22x5}

Решение:

¹ x(x

1)

а).ПоформулеНьютона–Лейбница(2)длявычисленияин-теграланеобходимонайтипервообразнуюподинтегральнойфункции.Интегралвычисляетсязаменойпеременной.Дляпра-вильноговыборановойпеременнойвоспользуемсяоперацией

подведенияподзнакдифференциала,т.е.

2

xdx^1d(x^21).

2

1



∫

31x^2xdx^x

1t,⇒xdx0,5dt

_{ 110}

t

^ ∫

^2dt

1

_1t

3/2

_α1^212,

|^10¹⁽10^3/2−2^3/2).

β3^2110_ 2₂

23/2² 3

Прииспользованииметодаподведенияподзнакдифферен-циалаполезнопомнитьтаблицудифференциалов,атакжесле-дующиевспомогательныеформулы:

xdx^1d(x^2a),dx^1d(axb),^dxd(ln(x)a),

2 a x

e^xdxd(e^xa),sinxdx−d(cosxa),

cosxdxd(sinxa),

dx

1x²

d(arctg(x)a),гдеa=const.

б).Вподинтегральнойфункциивыделимполныйквадратв

знаменателе:

x^22x5x^22x1−15(x1)^22^2.

Произведемзаменупеременных

^{x1t,⇒dxdt}

³ dx _³ dx

^α112, ^

∫

1^{x22x5}

∫

1^{(x1)222}

 

^_β314. ^_

⁴ dt

∫

^1arctg^t

|^4

1(Arctg(2)−arctg(1))

2^{t222 2}

2² 2

1. arctg(2)−^π.

2. 8

в).Интегралвзаданиивычисляетсязаменойпеременных.Приправильномвыбореновойпеременнойинтегрированиявподинтегральнойфункциинеобходимоперейтикрациональнойфункции,т.е.необходимоизбавитьсяотдробныхпоказателей(отиррациональности).

Вобщемвидевиррациональнойфункциинаходятсявседробныепоказатели,определяетсяобщийзнаменательэтих

дробейипроизводитсязаменапеременной

xt^s,гдеs—об-

щийзнаменатель.Врезультатезаменыподинтегральнаяфунк-циярационализируется.Длядробно-рациональныхфункцийметодынахожденияпервообразнойизвестны.

2

^{3 dx} _^xt

,⇒dx2tdt,^

⁹²tdt

∫  ^∫ ^

¹ x(x1)

_α1,

β9.

_ 1^t(t21)

⁹ dt

2_∫

2arctg(t)|^92arctg(9)−2arctg(1)

1^{(t21) 1}

2arctg(9)−^π.

2

3

π/2

Задача2.Найтиинтегралы:а)._∫xe^xdx,б)._∫xsin(2x)dx.

1 0

Еслирассматриваемыеинтегралыотносятсякследующемутипу:

d

n

_∫e^axP(x)dx,

c

d

d

_∫sin(ax)P_n(x)dx,

c

d d

d

_∫cos(ax)P_n(x)dx,

c

_∫P_n(x)ln(x)dx,

c

_∫P_n(x)arctg(x)dx,

c

_∫P_n(x)arcctg(x)dx,

c

где

P_n(x)

• многочленстепениn,a=const.

Тогдаинтегралырекомендуетсявычислятьметодоминте-грированияпочастям.В3интегралахвыборфункцииU(x)сле-

дующий:

U(x)P_n(x),авоставшихся3интегралах—

U(x)ln(x),