2.Основныепонятия

Рис.1.

n−1

Нарис.1приведенграфикнепрерывной функции f(x),определенныйнаинтервале[a,b].Производитсяразбиениеин-тервала[a,b]точкамиa=x_0,x₁,x₂,x_3,…x_i…,x_n-1=b на n частей:a<x₀<x₁<x₂<x₃<…<x_i<…<x_n-1=b.Внутрикаждогоинтервалаосу-ществляетсявыборточкиx=c_i(произвольнымобразом),вкото-ройвычисляетсяфункцияf(c_i).

^{Составляетсясуммавида∑}^f(c_i^)∆x_i^{,котораяназываетсяинте-}

i0

гральнойсуммой,где

∆x_i

x_i1−x_i.Еслипотребовать,чтобы

λmax∆x_i

→0,

тогдачислослагаемыхвинтегральнойсум-

менеограниченновозрастает.

Определение.

Еслисуществуетконечныйпределинтегральныхсумм

n−1

^{σlim∑}^f(c_i

λ→0_i0

)∆x_i

называетсяопределенныминтеграломот

функцииf(x)попромежутку[a,b]иобозначаетсясимволом

b ^def

n−1

_∫f(x)dxlim_∑f(c_i)∆x_i

(1)

1. ^{λ→0i0}

Определениеинтегралапредполагает,чтоинтегрируемаяфункцияявляетсяограниченной.

Установленыследующиеклассыинтегрируемыхфункций:

1.Еслифункцияf(x)непрерывна[a,b],тоонаинтегрируеманаэтоминтервале.2.Еслиограниченнаяфункцияf(x)имеетна[a,b]лишьконечноечислоточекразрыва,тоонаинтегрируема.

3. Ограниченнаямонотоннаяфункцияf(x)интегрируемана

[a,b],дажееслионаимеетбесконечномноготочекразрыва.

Фигура(рис.1),ограниченнаяграфикомфункцииf(x),вер-тикальнымипрямымиx=a,x=bиосьюX,называетсякриволи-нейнойтрапецией.Длянепрерывныхфункцийf(x)пределинте-гральныхсуммсовпадаетсплощадьюкриволинейнойтрапе-

b

ции.Такимобразом,

Теорема

S_∫f(x)dx.

a

Еслифункцияf(x)непрерывнана[a,b],тоинтеграл

x

F(x)_∫f(t)dt

a

спеременнымверхнимпределомxявляется

дифференцируемойфункциейx,иегопроизводнаяравназна-чениюподинтегральнойфункции,вычисленномуповерхнему

x

пределу,т.е.

F^′(x)(_∫f(t)dt)^′f(x).

a

Изтеоремыследует,чтоинтеграл

F(x)спеременнымверхним

пределомотнепрерывнойфункцииявляетсяпервообразнойдляподинтегральнойфункции.Наосноведаннойтеоремыдоказы-ваетсяформулаНьютона–Лейбница:

b

a

_∫f(x)dxF(x)|^bF(b)−F(a).

(2)

a

Формула(2)даетсвязьмеждунеопределеннымиопреде-ленныминтеграламиотнепрерывныхфункций.Длявычисле-нияопределенногоинтеграланужнонайтипервообразнуюпо-

динтегральнойфункции,вычислитьеезначениенаконцахин-тервалаинтегрирования[a,b]инайтиихразность.

Кважнымметодамвычисленияопределенныхинтеграловотносятсязаменапеременнойиинтегрированиепочастям.

Теорема(заменапеременнойвопределенноминтеграле)

Пусть1)f(x)интегрируеманапромежутке[a,b],2)функ-

ция

xϕ(t)

интегрируемана[α,β],3)

ϕ(t)

имеетнепрерыв-

нуюпроизводнуюнаинтервале[α,β].4)Причем

ϕ(β)b.Тогда

ϕ(α)a,

2. ^β

_∫f(x)dx_∫f(ϕ(t))ϕ^′(t)dt.

(3)

a α

Теорема(интегрированиепочастям)

Пусть

U(x),V(x)

непрерывнынапромежутке[a,b]вместе

сосвоимипроизводными.Тогда

b b

a

_∫U(x)dV(x)U(x)V(x)|^b−_∫V(x)dU(x).

(4)

a a

Краткорассмотримосновныесвойстваопределенногоинте-грала(ОИ).1).Определенныйинтегралоталгебраическойсум-мыконечногочислаинтегрируемыхфункцийравеналгебраи-ческойсуммеОИотэтихфункций.2).Постоянныймножитель

b c b

можновыноситьзазнакОИ.3).

_∫f(x)dx_∫f(x)dx_∫f(x)dx

a a c

приусловии,чтоf(x)интегрируеманабольшемизпромежут-ков:[a,b],[a,с],[с,b].4).Есливыполняетсянеравенство

b b

f(x)<g(x),тогдасправедливо_∫f(x)dx_∫g(x)dx.5).Дляинте-

a a

b b

грируемойфункцииf(x)выполняется

_∫f(x)dx≤_∫

a a

f(x)dx.

6).Еслидляинтегрируемойфункциивыполненынеравенства,

b

m≤f(x)≤M,тогда

m(b−a)≤_∫f(x)dx≤M(b−a).

a

7).Для

ограниченнойиинтегрируемойнапромежутке[a,b]функции

b

f(x)существуетточкаx_o,такая,что

_∫f(x)dxf(x_o)(b−a).

a

Всоответствиисгеометрическимсмысломопределенныйинтегралможетбытьиспользовандлявычисленияплощадейплоскихфигур.Всамомделе,площадьзаштрихованнойобла-сти(рис.2)равна

b b b

S_∫f(x)dx−_∫g(x)dx_∫(f(x)−g(x))dx.

(5)

a a a

а б

Рис.2.

Формула(5)справедливатакжедляслучая,представленно-гонарис.2б,когдафункцияϕ(x)являетсяотрицательной.

Еслиуравнениелинии,ограничивающейплоскуюфигуру,задановполярнойсистемекоординат,тогдаплощадьопреде-

ляетсяпоформуле

1. β

S _∫r

2. α

²⁽ϕ)dϕ,гдеr(ϕ)уравнениелинии.

ПустьдугаABкривойy=f(x),

x∈[a,b]вращаетсявокругоси

Ox(рис.3).Площадьповерхностивращенияиобъемпростран-ственноготела,полученноговрезультатевращениядугиAB,

приусловии,чтоy=f(x)непрерывнавместесосвоейпроизвод-ной,вычисляютсяпоследующимформулам:

B

а _б

B

AA

Рис.3.

^Sпов

b

2π_∫f(x)

a

1[f^′(x)]²

b

b

dx,Vπ_∫f

a

²⁽x)dx.

(6)

Определенныйинтеграл_∫f(x)dxранеерассматривалсяна

a

конечномпромежутке[a,b]идляограниченнойфункции.Принарушенииодногоизэтихусловийобопределенноминтегралеговоряткаконесобственноминтеграле.

Еслипромежутокнеограничен,тогданесобственныйинте-грал1-городаопределяетсяследующимобразом:

^∞ def ^A

^∞ def ^A

_∫f(x)dx_

lim

_∫f(x)dx,

_∫f(x)dx_

lim

_∫f(x)dx,

_a A→∞_a

∞

a

def ^A

B→∞_a

_∫f(x)dx_

lim

_∫f(x)dx.

(7)

_a A→∞_a

B→−∞

Предполагается,чтоналюбомпромежутке—[a,A],или

[B,b]функцияf(x)конечнаиинтегрируема.

Еслинеограниченнойявляетсяподинтегральнаяфункция,тогдаинтегралназываетсянесобственныминтегралом2-горо-

да.Еслис∈(a,b)—внутренняяточка,ивточкесфункцияf(c)неограниченна,тогдаточканазываетсяособойточкой.Несоб-ственныйинтеграл2-городаопределяетсякак

^b def

c−δ b

_∫f(x)dx_lim∫

f(x)dx_lim

_∫f(x)dx.

_a δ→0_a

δ→0_cδ

Еслиособаяточкаcсовпадаетсграницейинтервала[a,b],т.е.с=а,(илис=b)тогда

^b def ^b

^b def

b−δ

_∫f(x)dx_lim

_∫f(x)dx

(или_∫f(x)dx_lim

_∫f(x)dx).(8)

a ^δ→0cδ

_a δ→0_a

Предполагается,чтоналюбомпромежутке[c+δ,b],(или

[a,b-δ])функцияf(x)конечнаиинтегрируема.

Несобственныйинтегралназываетсясходящимся,еслионконечен.Иначе,еслионнесуществуетилиравенбесконечно-сти—несобственныйинтегралрасходящийся.

Вопрососходимостинесобственныхинтегралов1-городаможетбытьрешенспомощьютеоремсравнения.