Определение.

Еслисуществуетконечныйпределинтегральныхсумм(11)

при

λmax∆l_i

→0,причемэтотпределнезависитотспосо-

баразбиениядугиABнаnчастичныхдуг,атакжепроизволь-ноговыбораточекM(х_i,у_i,zi),тогдаонназываетсякриволиней-ныминтегралом2-городаиобозначаетсясимволом

n−1

^lim∑[P(x_i

^λ→0i0

,y_i

,z_i

)∆x_i

Q(x_i

,y_i

,z_i

)∆y_i

R(x_i

,y_i

,z_i

)∆z_i]

_∫P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz.

AB

(12)

Изопределенияследует,чтоприизменениинаправленияинтегрированиякриволинейныйинтеграл2-городаизменяетзнак.

_∫PdxQdyRdz−_∫PdxQdyRdz.

AB BA

Остальныесвойствакриволинейногоинтеграла(КР)2-городааналогичнысвойствамкриволинейныхинтегралов1-города.

ВычислениеКР2-городатакжесводитсяквычислениюопределенногоинтеграла.Дляэтогонеобходимознаниеурав-нениядугиAB(рис.5)впараметрическойформе.ЕслидугаABопределенавплоскостиx0y,тогдаэтотпереходможетбытьосуществлениприявномзаданииуравнениядугиAB.

Рассмотримприложениякратныхинтеграловкрешениюзадачфизикиимеханики.

1).Вычислениемассызаданнойфигуры.Еслиподинте-гральнаяфункциясовпадаетсплотностьюмассыфигуры,тогда

m_∫∫ρ(x,y)ds,

D

m_∫∫∫ρ(x,y,z)dv,

V

m_∫ρ(x,y,z)dl.

AB

(13)

2). Определение мерыфигуры.Если подинтегральнаяфункцияравнаединице,тогда

S_D_∫∫ds,V_∫∫∫dv,

L_AB

_∫dl,

(14)

D V AB

гдеS_D–площадьобластиD,V–объемпространственноготела

V,L_AB

• длинадугиAB.

3).Определениестатическихмоментовицентратяжестифигуры.

Определение.

Статическиммоментомматериальнойточкиназываетсяпроизведениееемассынарасстояниедосоответствующейосиилиплоскости.Статистическиймоментсистемыматериальныхточекотносительнонекоторойосиилиплоскостиравенсуммемоментоввсехточексистемы.

Наосновеопределениястатическогомомента,атакжеопределениякратныхинтеграловследует,что

S_x_∫∫yρ(x,y)ds,

D

S_y_∫∫xρ(x,y)ds,

D

^Sx0y

_∫∫∫zρ(x,y,z)dv,

V

^Sy0z

_∫∫∫xρ(x,y,z)dv,

V

^Sx0z

_∫∫∫yρ(x,y,z)dv,

V

(15)

где

S_x,S_y

• статическиемоментыобластиDотносительно

осей0xи0yсоответственно,

^Sx0y^,Sy0z^,Sx0z

• статическиемо-

ментытелаVотносительноплоскостейx0y,y0z,x0zсоответ-ственно.Координатыцентратяжестифигурыопределяютсяследующимобразом:

x^Sx,y

S_y

 плоскойфигурыD;

^Sy0z

x ,

c _m c

y^Sx0z,z

m

^Sx0y



телавпространствеV. (16)

c _m c _m c _m

4).Определениемоментаинерции.

Определение.

Моментоминерцииматериальнойточкиназываетсяпроиз-ведениееемассынаквадратрасстояниядосоответствующейосиилиплоскости.Моментинерциисистемыматериальныхточекотносительнонекоторойосиилиплоскостиравенсуммемоментовинерциивсехточексистемы.

Наосновеопределениямоментаинерции,атакжеопреде-лениякратныхинтеграловследует,что

2 _∫∫ 2

M_{x∫∫}y

D

2

ρ(x,y)ds,

M_y x

D

ρ(x,y)ds,

2

^Mx0y

^{∫∫∫z}

V

ρ(x,y,z)dv,

2

^My0z

^{∫∫∫x}

V

ρ(x,y,z)dv,

^Mx0z

^{∫∫∫y}

V

ρ(x,y,z)dv,

(17)

где

M_x,M_y

• моментыинерцииобластиDотносительноосей

0xи0yсоответственно,

^Mx0y^,My0z^,Mx0z

• моментыинерции

телаVотносительноплоскостейx0y,y0z,x0zсоответственно.