5. Дифференциальныеуравнениявторогопорядка.

Основныепонятия

1. Дифференциальнымуравнениемвторогопорядкана-зываетсясоотношение,связывающеенезависимуюпеременнуюх,неизвестнуюфункциюу(х)иеепервуюивторуюпроизвод-ные.Оноимеетвид

F(x,y,y^,y^)0

или,еслионоразрешимоотносительноу,

y^

f(x,y,y^). (5.1)

2. Общимрешениемдифференциальногоуравнениявто-рогопорядканазываетсяфункция

у(х,с₁,с₂₎,

содержащаядвепроизвольныепостоянныес_1ис_2такие,чтоеслизаданыначальныеусловия

у(х₀₎у₀ и

~

у^(х₀₎у₀^,

~

тонайдутсятакиезначения

с_1и

с_2,чтофункция

у(х,^~с,с^~)

12

будетявлятьсярешениемданногодифференциальногоуравне-ния,удовлетворяющимэтимначальнымусловиям.

3. Любоерешение,получаемоеизобщегорешенияприконкретныхзначенияхпроизвольныхпостоянныхс_1ис₂,назы-ваетсячастнымрешениемдифференциальногоуравнения.

4. Теоремасуществованияиединственностирешениядифференциальногоуравнения(5.1)формулируетсятак:

Еслифункция

f(x,y,y^)

иеечастныепроизводныепоу

иунепрерывнывнекоторойобласти,содержащей

хх_0,

уу_0,

у^у₀^,тосуществуетединственноерешение

уу(х),

удовлетворяющееусловиям

у(х₀)у_0,

у^(х₀)у₀^.

5. Типыдифференциальногоуравнениявторогопорядка,

допускающиепонижениепорядка.

1. тип. Уравнениеимеетвид

у^

f(x).

Общеерешениенаходитсяпутемдвукратногоинтегрированияследующимобразом:

у^^dy,

dx

y^_f(x)dxc_1,

у^^dy,

y_(_f(x)dx)dxcxc.

_dx 1 2

2. тип.Уравнениенесодержитявнымобразомискомойфункцииу(х):

у^

f(x,y^).

Порядокуравненияпонижаетсянаединицу

заменой

у^z(x).Таккак

у^z^,тополучим

уравнениепервогопорядкаотносительноz(х):

z^

f(x,z).

3. тип.Уравнениенесодержитявнымобразомнезависимойпеременнойх:

у^

f(у,y^).

Порядокуравненияпонижаетсянаединицу

спомощьюподстановки

у^z(у).Вэтомслучае

у^^dz

^dy^dzz,иуравнениеприметвид

dydx

dy

_zdz_

dy

f(y,z).

6. Линейныедифференциальныеуравнениявторогопорядкаспостояннымикоэффициентами

1. Линейноедифференциальноеуравнениевторогопо-рядкаспостояннымикоэффициентамиимеетвид

где

p_1и

у^р_1у^р_2у

p_2числа.

f(x),

2. Общеерешениелинейногооднородногоуравнениявторогопорядкаимеетвид

у_o.oc_1y_1c_2у_2,

где

y_1и

y_2линейнонезависимыерешения.

3. Решениялинейногооднородногоуравненияспосто-

яннымикоэффициентамиищемввидеПослеподстановкивуравнение

уе^kx,

kconst.

решения

уе^kx

у^р_1у^р_2у0

получаемхарактеристическоеуравнение

(6.3)

1

k^2p

относительнонеизвестногоk.

kp_20

Видобщегорешенияуравнения(6.3)зависитоткорней

характеристическогоуравненияследующимобразом(табл.1).

Таблица1

Корнихарактеристиче- скогоуравнения	Видобщегорешения
Корниразличныедейст- вительныеk1k2	у сеk1xcek2x о.о. 1 2
Корни действительныеравныеk1=k2=k	у сеkxcxekx о.о. 1 2
Корникомплексные k1,2=i	у сеαxcosβxceαxsinβx о.о. 1 2

4. Общеерешениелинейногонеоднородногоуравненияимеетвид

уу_о.оу_ч.н,

гдеу_о.ообщеерешениесоответствующегооднородногоуравне-

ния,а

у_ч.нчастноерешениеданногонеоднородногоуравнения.

Дляподборачастногорешенияповидуправойчастиуравненияf(x)икорнейхарактеристическогоуравненияудоб-нопользоватьсятабл.2:

Таблица2

Праваячастьдиф- ференциального уравненияf(x)	Корнихарактеристи- ческогоуравнения	Видчастного решения
f(x)Pn(x)	1.Число0неявля- етсякорнемха- рактеристическо-гоуравнения	уч.нQn(x)
	2.Число0–корень характеристичес- когоуравнениякратностиs	у xsQ(x) ч.н n
f(x)eαxP(x) n	1.Числонеявля-етсякорнемха- рактеристическо-гоуравнения	у eαxQ(x) ч.н n
	2.Число–кореньхарактеристиче- скогоуравнениякратностиs	у xsеxQ(x) ч.н n

Окончаниетабл.2

Праваячасть дифференциаль- ногоуравненияf (x)	Корнихарактеристи- ческогоуравнения	Видчастного решения
f(x)Аcosβx Вsinβx	1.Числоiнеяв-ляетсякорнемха- рактеристическогоуравнения	yч.н=~cosx+ А +~sinx В
	2.Числоi–ко-реньхарактерис-тическогоурав- нения	уч.н= =x(~cosx+ А +~sinx) В
f(x).= =ex(Acosx+ Вsinβx)	1.Числоiнеявляетсякорнем характеристичес-когоуравнения	уч.н= =ex(~cosx+ А +~sinx) В
	2.Числоi–кореньхаракте-ристического уравнения	уч.н= =xex(~cosx+ А +~sinx] В