Федеральноеагентствопообразованию

Томскийгосударственныйархитектурно-строительныйуниверситет

Дифференциальныеуравнения

Методическиеуказания

кконтрольнойработе№8

СоставителиТ.А.Шалыгина,Л.И.Цепилевич

Томск2008

Дифференциальныеуравнения:методическиеуказания/Сост.Т.А.Шалыгина,Л.И.Цепилевич.Томск:Изд-воТом.гос.архит.-строит.ун-та,2008.–32с.

РецензентстаршийпреподавательН.А.МокрякРедакторЕ.Ю.Глотова

Методическиеуказанияповысшейматематикедлястудентоввторогокурсазаочнойформыобученияквыполнениюконтрольнойработы№8потеме«Дифференциальныеуравнения».

Печатаютсяпорешениюметодическогосеминаракафедрывысшейматематики,протокол№9от21.05.2008г.

УтвержденыивведенывдействиемпроректоромпоучебнойработеВ.В.Дзюбо

с1.09.2008

до1.09.2013

Подписановпечать.Формат60х84/16Бумагаофсет.ГарнитураТаймс,печатьофсет.

Уч.-изд.л.1,68.Тираж150.Заказ№

Изд-воТГАСУ,634003,г.Томск,пл.Соляная,2.Отпечатаносоригинал-макетавООПТГАСУ.634003,г.Томск,ул.Партизанская,15.

Введение

Данныеметодическиеуказанияпредназначеныдлясту-дентовзаочногофакультетаидаютрядпрактическихрекомен-дацийстудентамповыполнениюконтрольнойработы.Указа-ниясодержатсписокрекомендуемойлитературы,вопросыдлясамопроверки,краткиетеоретическиесведения,рекомендациипорешениютиповыхзадач,контрольныезадания.

Контрольнаяработа№8:дифференциальныеуравнения Основныепонятия

1. Определениедифференциальногоуравненияпервогопорядка,егообщегоичастногорешения(интеграла)

1. Дифференциальнымуравнениемпервогопорядкана-зываетсясоотношениемеждунезависимойпеременнойх,неизвестнойфункциейу(х)иеепервойпроизводнойу,т.е.

F(x,y,y^)0.

Еслиэтоуравнениеможноразрешитьотносительнопро-изводнойу,тооноприметвид

у^

f(x,y).

Дифференциальноеуравнениепервогопорядкаможетбытьзаписаносиспользованиемдифференциаловхиу,т.е.

P(x,y)dxQ(x,y)dy0.

2. Общимрешениемдифференциальногоуравненияпер-

вогопорядканазываетсяфункцияная,удовлетворяющаяусловиям:

у(х,с),гдеспостоян-

а)онаудовлетворяетдифференциальномууравнениюприлюбыхзначенияхпостояннойс;

б)каковобынибылоначальноеусловиеуу_0,при

хх₀

можнонайтитакоезначение

сс_0,чтофункция

у(х,с₀₎

удовлетворяетданномуначальномуусловию.

3. Частнымрешениемназываетсяфункция

у(х,с₀₎,

котораяполучаетсяизобщегорешения

у(х,с),есливнем

произвольнойпостояннойспридатьзначениес₀.

4. Соотношениевида

Ф(х,у,с)0,неявнозадающее

неизвестнуюфункциюу,называетсяобщиминтеграломдиф-

ференциальногоуравнения,асоотношение

стныминтегралом.

Ф(х,у,с₀₎0ча-

5. Геометрическиобщеерешение(илиобщийинтеграл)

представляетсобоюсемействокривыхнакоординатнойплос-кости.Частномурешению(иличастномуинтегралу)соответст-вуетоднакриваяэтогосемейства,проходящаячереззаданнуюточкуМ₀(х₀,у₀).

6. ЗадачаКошисостоитвотысканиирешениядиффе-

ренциальногоуравненияпервогопорядка,удовлетворяющего

начальномуусловию

уу₀

при

хх_0.

2. Дифференциальныеуравнениясразделяющимисяпеременными

1. Уравнениевида

P(х)dxQ(y)dy0

называетсяуравнениемсразделеннымипеременными.

Важно:приdxстоитфункция,зависящаятолькоотх,

приdy–зависящаятолькооту.Общийинтегралтакогоуравнения

_Р(х)dx_Q(y)dyc.

2. Дифференциальноеуравнениевида

у^

f(х,y)

называетсяуравнениемсразделяющимисяпеременными,еслифункция

f(х,y)

допускаетпредставлениеввидепроизведениядвухфункций,

каждаяизкоторыхзависиттолькоотоднойпеременной,т.е.

у^

f₁(x)f₂₍y).

Длярешенияуравнениянужноразделитьпеременныеследующимобразом:сначалапредставитьпроизводнуюувви-деотношениядифференциалов

dy

у^ 

dx

f₁(x)f₂₍y),

затемумножитьобечастиравенстванаdxиразделитьнаВрезультатеполучим

f₂₍y).

dy _

f₂₍у)

f₁(x)dx

уравнениесразделеннымипеременными.

3. Уравнениевида

P(х,у)dxQ(х,y)dy0

называетсяуравнениемсразделяющимисяпеременными,если

обефункции

16. (х,у)

иQ(х,y)допускаюттакоежепредстав-

лениеввидепроизведениядвухсомножителей,каждыйизко-торыхзависиттолькоотоднойпеременной:

Р₁(x)P₂₍y)dxQ₁(x)Q₂₍y)dy0.

Разделениепеременныхприводитктакомууравнению:

P₁(x)_dxQ₂₍y)_dy0,

Q₁(x)

котороезатеминтегрируется.

P₂₍у)

Следуетзаметить,чтовпроцессеразделенияпеременных

приделенииобеихчастейуравнениянавыражение,содержа-щеенеизвестныехиу,могутбытьпотерянырешения,обра-щающиеэтовыражениевнуль.