5.Представление данных в эвм. Типы данных. Погрешности решения задач в эвм.

   Одно и то же число может быть записано в различных формах

   452,34  =  452340·10^-3 = 0,0045234·10⁵ = 0,45234·10³  

 Естественная форма                                             Нормальная форма

 

            Машинным изображением числа называют его представление в разрядной сетке ЭВМ. Числа в ЭВМ также могут быть представлены в двух формах

            1) Естественная (с фиксированной запятой ФЗ)

            2) Нормальная или полулогарифмическая (с плавающей запятой ПЛЗ)

 

В форме с ФЗ в разрядной сетке выделяется строго определенное число разрядов для целой и для дробной частей числа. Левый (старший) разряд хранит признак знака (0 – "+", 1 – "-") и для записи числа не используется.

 

            Сама запятая никак не изображается, но ее место строго фиксировано и учитывается при выполнении всех операций с числами. Независимо от положения запятой в машину можно вводить любые числа, т.к.

A = [A] · K_A 

где       А – произвольное число

[A] – машинное изображение числа в разрядной сетке

K_A  - масштабный коэффициент.

 

С целью упрощения разработки программ запятую часто размещают сразу после знака числа, тогда  -1< [A] <1, т.е. в ЭВМ хранятся только правильные дроби в диапазоне  ±[A]min = 0,0000….1 = 2^-n до ±[A]max = 0,1111….1 = 1 – 2^-n (n – количество разрядов для хранения дробной части). Второй распространенный вариант – использование целочисленной арифметики, когда запятая фиксируется на правом краю разрядной сетки. При любом выборе места запятой максимальная абсолютная погрешность представления числа  - единица младшего разряда разрядной сетки.

   

Для машинного представления чисел с ПЛЗ используют формулу [A] =m·2^P,  где m - мантисса (|m|<1), а р – порядок (целое число). В разрядной сетке выделяется определенное количество разрядов для хранения мантиссы и порядка с их знаками. Основание системы счисления (2) нигде не хранится, но используется при вычислениях.

           

Существуют форматы с другим размещением мантиссы и порядка в разрядной сетке.

 

            Для каждого числа существует множество нормальных форм:

0,25 = 0,25·10⁰= 0,025·10¹ = 0,0025·10²

 

При увеличении порядка происходит сдвиг мантиссы вправо, младшие разряды могут выйти за пределы разрядной сетки, что уменьшит точность представления чисел. Поэтому для представления чисел с ПЛЗ используется нормализованная форма записи, когда первая цифра мантиссы должна быть обязательно значащей. (двоичная единица):

В большинстве языков программирования существуют следующие базовые типы данных: целый, вещественный, строковый, логический.

Тип	Описание	Диапазон значений
нат	натуральные числа	от 1 ДО — ∞
цел	целые числа	от — ∞ до + ∞
действ	действительные числа, десятичные дроби	от — ∞ до + ∞
лит	литерный (строковый)	любые символы или группы символов
лог	логический	истина, ложь

При решении задачи на ЭВМ практически невозможно получить точное решение. Получаемое численное решение почти всегда содержит погрешность, т.е. является приближенным. Погрешности решения задач на ЭВМ объясняются следующими причинами:

1)  математическая модель задачи является приближенным описанием реального объекта или процесса. Поэтому получаемые результаты также всегда будут приближенными, а их погрешности зависят от степени адекватности моделей реальному объекту или процессу;

2)  исходные данные при решении вычислительной задачи, как правило, содержат погрешности. Это объясняется тем, что исходные данные получают в результате экспериментов, наблюдений, измерений или в результате решения вспомогательных задач;

3)  применяемые для решения вычислительных задач методы в большинстве случаев являются приближенными, так как получить аналитическое решение задачи обычно не удается;

4)  использование ЭВМ вносит ошибки, которые появляются при  вводе-выводе данных в процессе вычислений.