2. Расчет цепи несинусоидального тока при последовательном соединении резистора, индуктивности и емкости
Рассматривая цепи несинусоидального тока, рассчитаем сначала основную элементарную цепь, состоящую из последовательного соединения резистора (R), индуктивности (L) и емкости (C), а затем – цепь, состоящую из параллельного соединения этих элементов.
Пример 2.1
На
рис. 2.1 изображено последовательное
соединение R,
L,
C.
К цепи приложено несинусоидальное
напряжение, изменяющееся по закону:
,
В; резистивное сопротивление R
= 8 Ом;
сопротивления реактивных элементов
для первой гармоники:
Определить:
показания приборов электромагнитной
системы; мощности: активную Р,
реактивную Q,
полную S;
коэффициент мощности. Составить
энергетический баланс по активной
мощности Р.
i R xL xC
VR VL VC
и V
А
Рис. 2.1.
Решение
Для решения используем метод наложения, т. е. будем рассчитывать цепь для каждой составляющей приложенного напряжения и.
Постоянная составляющая напряжения U(0) = 10 В. Ток в цепи от постоянной составляющей напряжения равен нулю: I(0) = 0, так как в цепи последовательно включен конденсатор, сопротивление которого для постоянного тока принимается равным бесконечности:
,
т. е.
Для определения токов от синусоидальных напряжений первой (и(1)) и второй (и(2)) гармоник используем символический метод. Комплекс тока в цепи для k-ой гармоники равен:
где
– комплекс
действующего напряжения k-ой
гармоники;
– комплекс полного
сопротивления цепи для k-ой
гармоники.
k = 1 – (первая гармоника):
В;
Ом;
Ом;
Ом.
Тогда
А.
Мгновенное значение этого тока
А.
k = 2 – (вторая гармоника):
В;
Ом.
Комплекс полного сопротивления для второй гармоники оказался чисто активным, следовательно, в цепи на частоте второй гармоники имеет место резонанс напряжений.
А,
А.
По методу наложения ток будет равен сумме составляющих тока, т. е.:
А.
Действующее значение этого тока согласно выражению (17) (показание амперметра):
Действующее значение приложенного напряжения по (18) (показание вольтметра V):
В.
Активная мощность Р на входе цепи по выражению (20):
Полная (или кажущаяся) мощность по (21):
ВА.
Реактивная мощность по (22):
Для второй гармоники:
где
ВАр;
ВАр,
тогда
что объясняется резонансным режимом
на второй гармонике.
Коэффициент мощности:
Энергетический баланс активных мощностей:
Ранее была определена активная мощность генератора Р = РГ = 12 Вт, РГ = Рпр – т.е. энергетический баланс выполняется.
Определим законы изменения во времени и действующие значения падений напряжений (показания вольтметров) на активном сопротивлении (иR, UR); индуктивности (иL, UL); конденсаторе (иС, UС).
Напряжения на элементах цепи равны:
.
Тогда
напряжение на резисторе:
напряжение на индуктивности:
напряжение на конденсаторе:
Действующие значения этих напряжений (показания вольтметров VR, VL, VC):
Для методической полноты рассмотрим также определение найденных величин символическим методом.
Пусть k = 0 – постоянная составляющая.
Так как I(0) = 0 (конденсатор постоянного тока не пропускает), то:
B,
В.
По
второму закону Кирхгофа
,
откуда
В.
Расчет напряжений по первой гармонике (k = 1)
Напряжение на резисторе от первой гармоники тока:
B.
Мгновенное значение (закон изменения во времени) этого напряжения:
В.
Напряжение на индуктивности от первой гармоники:
B.
Напряжение на конденсаторе от первой гармоники:
B.
Проверка:
Т.е. второй закон Кирхгофа для первой гармоники выполняется.
Расчет напряжений по второй гармонике (k = 2)
В.
В.
В.
B.
Проверка:
Законы изменения напряжений на R, L, C:
что совпадает с найденными раньше выражениями.
Сделаем проверку по второму закону Кирхгофа для выбранного момента времени, например, t = 0.
Входное напряжение:
В.
В.
Напряжение на элементах цепи:
В;
В.
В;
В.
В;
В.
В,
т.е.
В (верно.)
Второй закон Кирхгофа выполняется, следовательно, все выкладки проведены правильно.