8.1.4.4. Простой тест для проверки полинома на примитивность

Существует еще один, чрезвычайно простой способ проверки, является ли полином примитивным. У неприводимого полинома, который является примитивным, по крайней мере, хотя бы один из корней должен быть примитивным элементом. Примитивным элементом называется такой элемент поля, который, будучи возведенным в более высокие степени, даст ненулевые элементы поля. Поскольку данное поле является конечным, количество таких элементов также конечно.

Пример 8.2. Примитивный полином должен иметь, по крайней мере, хотя бы один примитивный элемент.

Найдите m = 3 корня полинома  и определите, примитивен ли полином. Для этого проверьте, имеется ли среди корней полинома хотя бы один примитивный элемент. Каковы корни полинома? Какие из них примитивны?

Решение

Корни будут найдены прямым перебором. Итак,  не будет корнем, поскольку .Теперь, чтобы проверить, является ли корнем , воспользуемся табл. 8.2. Поскольку  , значит,  будет корнем полинома. Далее проверим, будет ли корнем . Значит, и также будет корнем полинома. Теперь проверим .  Следовательно,  корнем полинома не является. Будет ли корнем ?  Да,  будет корнем полинома. Значит, корнями полинома  будут . Нетрудно убедиться, что, последовательно возводя в степень любой из этих корней, можно получить все 7 ненулевых элементов поля. Таким образом, все корни будут примитивными элементами. Поскольку в определении требуется, чтобы по крайней мере один из корней был примитивным, полином является примитивным.

В этом примере описан относительно простой метод проверки полинома на примитивность. Для проверяемого полинома нужно составить регистр LFSR  с контуром обратной связи, соответствующий коэффициентам полинома, как показана на рис. 8.8. Затем в схему регистра следует загрузить любое ненулевое состояние и выполнить за каждый такт правый сдвиг. Если за один период схема сгенерирует все ненулевые элементы поля, то данный полином с полем GF( ) будет примитивным.

8.1.5. Кодирование Рида-Соломона.

В уравнении (8.2) представлена наиболее распространенная форма кодов Рида-Соломона через параметры n, k, t и некоторое положительное число m > 2. Приведем это уравнение повторно.

                                 (8.20)

Здесь  - число контрольных символов, а t – количество ошибочных битов в символе, которые может исправить код. Генерирующий полином для кода Рида-Соломона имеет следующий вид.

              (8.21)  

Степень полиномиального генератора равна числу контролируемых символов. Коды Рида-Соломона являются подмножеством кодов БЧХ, которые обсуждались в разделе 6.8.3. и показаны в табл. 6.4. Поэтому связь между степенью полиномиального генератора и числом контрольных символов, как и в кодах БЧХ, не должна оказаться неожиданностью. В этом можно убедиться, подвергнув проверке любой генератор из табл. 6.4. Поскольку полиномиальный генератор имеет порядок 2t, мы должны иметь в точности 2t последовательные степени , которые являются корнями полинома. Обозначим корни  как: . Нет необходимости начинать именно с корня , это можно сделать с помощью любой степени . Возьмем, к примеру, код (7,3) с возможностью коррекции двухсимвольных ошибок. Мы выразим полиномиальный генератор через  корня следующим образом.