Лекция 24.

Циклические коды Рида - Соломона. Сверточные коды

Коды Рида-Соломона

Коды Рида-Соломона – это недвоичные циклические коды, символы которых представляют собой m-битовые последовательности, где т–положительное целое число, большее 2. Код (n, K) определен на m-битовых символах при всех п и k, для которых

где k – число информационных битов, подлежащих кодированию, а – число кодовых символов в кодируемом блоке. Для большинства сверточных кодов Рида-Соломона

где t –количество ошибочных битов в символе, которые может исправить код, а и – число контрольных символов. Расширенный код Рида-Соломона можно получить при , но не более того.

Код Рида-Соломона обладает наибольшим минимальным расстоянием, возможным для линейного кода с одинаковой длиной входных и выходных блоков кодера. Для недвоичных кодов расстояние между двумя кодовыми словами определяется (по аналогии с расстоянием Хэмминга) как число символов, которыми отличаются последовательности. Для кодов Рида-Соломона минимальное расстояние определяется следующим образом [1]

Код, который исправляет все искаженные символы, содержащие ошибку в t или меньшем числе бит, можно выразить следующим образом.

Здесь [x] означает наибольшее целое, не превышающее х. Из уравнения (20.4) видно, что коды Рида-Соломона, исправляющие t символьных ошибок, требуют не более 2t контрольных символов. Из уравнения (20.4) следует, что декодер имеет п-k "используемых" избыточных символов, количество которых вдвое превышает количество исправляемых ошибок. Для каждой ошибки один избыточный символ используется для обнаружения ошибки и один – для определения правильного значения. Способность кода к коррекции стираний выражается следующим образом.

Возможность одновременной коррекции ошибок и стираний можно выразить как требование.

Здесь  — число символьных ошибочных комбинаций, которые можно исправить, а — количество комбинаций символьных стираний, которые могут быть исправлены. Преимущества недвоичных кодов, подобных кодам Рида-Соломона, можно увидеть в следующем сравнении. Рассмотрим двоичный код (п, k) = (7, 3). Полное пространство n-кортежей содержит  n-кортежей, из которых   (или 1/16 часть всех n-кортежей) являются кодовыми словами. Затем рассмотрим недвоичный код (n, k)=(7, 3), где каждый символ состоит из т = 3 бит. Пространство n-кортежей   содержит   n-кортежа, из которых  (или 1/4096 часть всех n-кортежей) являются кодовыми словами. Если операции производятся над недвоичными символами, каждый из которых образован т битами, то только незначительная часть (т.е.  из большого числа ) возможных n-кортежей является кодовыми словами. Эта часть уменьшается с ростом т. Здесь важным является то, что если в качестве кодовых слов используется незначительная часть пространства n-кортежей, то можно достичь большего .

Любой линейный код дает возможность исправить n-k комбинаций символьных стираний, если все n-k стертых символов приходятся на контрольные символы. Однако коды Рида-Соломона имеют замечательное свойство, выражающееся в том, что они могут исправить любой набор п-k символов стираний в блоке. Можно сконструировать коды с любой избыточностью. Впрочем, с увеличением избыточности растет сложность ее высокоскоростной реализации. Поэтому наиболее привлекательные коды Рида-Соломона обладают высокой степенью кодирования (низкой избыточностью).