Коды Хэмминга
Коды Хэмминга — это простой класс блочных кодов, которые имеют следующую структуру:
где т = 2,3,... . Минимальное расстояние этих кодов равно 3, поэтому, согласно уравнениям (6.44) и (6.47), они способны исправлять все однобитовые ошибки или определять все ошибочные комбинации из двух или менее ошибок в блоке. Декодирование с помощью синдромов особенно хорошо подходит к кодам Хэмминга. Фактически синдром можно превратить в двоичный указатель местоположения ошибки. Хотя коды Хэмминга не являются слишком мощными, они принадлежат к очень ограниченному классу блочных кодов, называемых совершенным.
Если предположить, что используется жесткое декодирование, вероятность появления битовой ошибки можно записать
Здесь р — вероятность ошибочного приема канального символа (вероятность перехода в двоичном симметричном канале).
На
рис. 6.21 приведен график зависимости
вероятности ошибки в декодированном
бите от вероятности ошибки в канальном
символе, на котором сравниваются разные
блочные коды. Для кодов Хэмминга на
графике взяты значения т
= 3,
4 и 5 или (n, k)
=
(7,4), (15,11), (31,26). Для описания гауссового
канала с использованием когерентной
демодуляции сигналов BPSK, вероятность
ошибки в канальном символе можно выразить
через
Рис. 6.21. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности ошибки в канальном символе для нескольких блочных кодов
Здесь
- отношение энергии кодового символа к
спектральной плотности мощности шума,
a Q(X)
определено
в уравнении (3.43). Чтобы связать
с энергией бита информации на единицу
плотности спектрального шума
,
используем
следующее выражение.
Для кодов Хэмминга уравнение (6.75) принимает следующий вид.
Объединяя
уравнения (6.73), (6.74) и (6.76),
при когерентной демодуляции сигналов
BPSK в гауссовом канале можно выразить
как функцию
.
Результаты
для различных типов блочных кодов
отображены на рис. 6.22. Для кодов Хэмминга
взяты следующие значения (n,
k)
= (7,4),
(15,11), (31,26).
Рис. 6.22. Зависимость от при когерентной демодуляции сигналов BPSK в гауссовом канале для нескольких блочных кодов
Пример 6.11. Вероятность ошибки для модулированных и кодированных сигналов. Кодированный сигнал с модуляцией BFSK передается по гауссовому каналу. Сигнал некогерентно обнаруживается и жестко декодируется. Найдите вероятность ошибки в декодированном бите, если кодирование осуществляется блочным кодом Хэмминга (7,4), а принятое: значение равно 20.
Решение
Сначала находим .
Затем для кодированного некогерентного сигнала BFSK мы можем связать вероятность ошибки в канальном символе с
Подставляя этот результат в уравнение (6.73), получаем следующее значение вероятности ошибки в декодированном бите.
≈
Расширенный код Голея
Одним из наиболее практичных блочных кодов является двоичный расширенный код Голея (24, 12), который образован путем прибавления битов четности к совершенному коду (23, 12), известному как код Голея (Golay code). Эти дополнительные биты повышают минимальное расстояние с 7 до 8, что дает степень кодирования 1/2, реализовать которую проще (с точки зрения системного тактового генератора), чем степень кодирования кода Голея, равную 12/23. Расширенный код Голея значительно мощнее рассмотренного в предыдущем разделе кода Хэмминга. Цена, которую приходится платить за повышение эффективности, заключается в более сложном декодере и, соответственно, более широкой полосе пропускания.
Для
расширенного кода Голея
,
поэтому, исходя из уравнения (6.44), можно
сказать, что код гарантирует исправление
всех трехбитовых ошибок. Кроме того,
декодер можно сконструировать так,
чтобы он исправлял некоторые
комбинации
с четырьмя ошибками. Поскольку исправить
можно только 16,7% комбинаций с четырьмя
ошибками, декодер, для упрощения, обычно
реализуется для исправления только
трехбитовых ошибочных комбинаций. Если
предположить жесткое декодирование,
то вероятность битовой ошибки для
расширенного кода Голея можно представить
как функцию вероятности p
ошибки в
канальном символе
График
зависимости (6.77) показан на рис. 6.21;
вероятность появления ошибки для
расширенного кода Голея значительно
меньше, чем у кодов Хэмминга. Исходя из
уравнений (6.77), (6,74) и (6.75), можно связать
с
для
сигнала BPSK в гауссовом канале с
кодированием расширенным кодом Голея.
Результаты показаны на рис. 6.22.