Систематические линейные блочные коды

Систематический линейный блочный код (systematic linear block code) (n, k) — это такое отображение n-мерного вектора сообщения в n-мерное кодовое слово, что часть генерируемой последовательности совмещается с k символами сообщения. Остальные бит – это биты четности. Матрица генератора систематического линейного блочного кода имеет следующий вид.

                            (6.27)

Здесь Р – массив четности, входящий в матрицу генератора, pij = (0 или 1), а Ik – единичная матрица размерностью k x k (у которой диагональные элементы равны 1, а все остальные – 0). Заметим, что при использовании этого систематического генератора процесс кодирования еще больше упрощается, поскольку нет необходимости хранить ту часть массива, где находится единичная матрица. Объединяя выражения (6.26) и (6.27), можно представить каждое кодовое слово в следующем виде.

где

Для данного k-кортежа сообщения

и k-кортежа кодовых векторов

систематический кодовый вектор можно записать в следующем виде.

                                 (6.28)

где

                      (6.29)

Систематические кодовые слова иногда записываются так, чтобы биты сообщения занимали левую часть кодового слова, а биты четности — правую. Такая перестановка не влияет на свойства кода, связанные с процедурами обнаружения и исправления ошибок, поэтому далее рассматриваться не будет.

Для кода (6,3), рассмотренного в разделе 6.4.3, кодовое слово выглядит следующим образом.

                                    (6.30)

                        (6.31)

Выражение (6.31) позволяет получить некоторое представление о структуре линейных блочных кодов. Видно, что избыточные биты имеют разное происхождение. Первый бит четности является суммой первого и третьего битов сообщения; второй бит четности — это сумма первого и второго битов сообщения; а третий бит четности — сумма второго и третьего битов сообщения. Интуитивно понятно, что, по сравнению с контролем четности методом дублирования разряда или с помощью одного бита четности, описанная структура может предоставлять более широкие возможности обнаружения и исправления ошибок.

Проверочная матрица

Определим матрицу Н, именуемую проверочной, которая позволит нам декодировать полученные вектора. Для каждой матрицы (k х n) генератора G существует матрица Н размером (n - k) х n, такая, что строки матрицы G ортогональны к строкам матрицы Н. Иными словами, GH^T=0, где Н^T — транспонированная матрица Н, а 0 — нулевая матрица размерностью k x (n-k). – это матрица размером n x (n-k), строки которой являются столбцами матрицы Н, а столбцы — строками матрицы Н. Чтобы матрица Н удовлетворяла требованиям ортогональности систематического кода, ее компоненты записываются в следующем виде.

                                             (6.32)

Следовательно, матрица Н^T имеет следующий вид.

                                                                                   (6.ЗЗ,а)

                                                              (6.33,6)

Нетрудно убедиться, что произведение UH^T любого кодового слова U, генерируемого G, и матрицы H^T дает следующее.

где биты четности  определены в уравнении (6.29). Таким образом, поскольку проверочная матрица Н создана так, чтобы удовлетворять условиям ортогональности, она позволяет проверять принятые векторы на предмет их принадлежности заданному набору кодовых слов. U будет кодовым словом, генерируемым матрицей G, тогда и только тогда, когда UH^T=0.