Сопоставление

размеров

(ранжирование)

Логическая

операция

(выводы)

Q₁ Q_i >Q_j

Q_i =Q_j

Q_j Q_i <Q_j

Рисунок 1 – Структурная схема оценок по шкале порядка

Оценочные измерения по шкале порядка широко используются при различных контролях, например, при контроле единичных показателей качества, при классификационной их оценке, а также при сертификации продукции.

Шкала интервалов. Шкала измерений, на которой фиксируются отличия (разница) сопоставляемых размеров, носит название шкалы интервалов. Эта форма отображения величин размеров является более совершенной, чем шкала порядка, так как в ней есть вполне определенные интервалы – части фиксированных размеров между опорными (реперными) точками размеров.

На шкале интервалов значения (величины) самих измеряемых размеров остаются неизвестными, так как на ней откладываются только разницы между сопоставляемыми размерами. Но по данным шкалы интервалов можно определить не только то, что один размер больше или меньше другого, но и оценить, на сколько один размер отличается от другого. На этой шкале можно осуществлять арифметические действия с интервалами: складывать и вычитать их величины.

Построение шкалы интервалов для размеров, образующий ранжированный ряд Q₁<Q₂<Q₃<Q₄<Q₅, показано на рисунке 2. Математической моделью сравнения между собой двух размеров одной служит выражение Q_i – Q_j = Q_ij, в котором при построении шкалы интервалов с размером Q_j сравниваются все другие размеры Q_i.

Q₅

Q₄

Q₃

Q₂

Q₁

– Δ Q₁ –Δ Q₂ 0 + Δ Q₄ + Δ Q₅ Δ Q

Рисунок 2 – Шкала интервалов для пяти размеров

Начало отсчета (нулевое значение величины) на шкале интервалов выбирается произвольно. Деление шкалы на равные части, т.е. градация шкалы, тоже не регламентируется. Однако градация позволяет выразить результат измерения в числовой мере.

Градация есть установление масштаба на шкале интервалов. При наличии масштаба измерения по шкале интервалов осуществляются подсчетом числа градаций, имеющихся в интервале ΔQ_ij. Следовательно, градация здесь служит единицей измерения.

Примером измерений по шкале интервалов является измерение температур. Единица градации в этом случае называется градусом. На шкале Цельсия за начало отсчета принята реперная (опорная) точка – критическая температура замерзания воды (таяния льда). С этой температурой сравниваются все другие температуры. Однако для сравнений выбран масштабный интервал от нулевого значения температуры до температуры кипения воды. Этот интервал в данном случае разделен на 100 градаций.

В интервальной шкале Рюмера для измерения температуры в качестве реперной точки с нулевым значением показателя также принята температура таяния льда, а за интервал масштаба – температуры от точки таяния льда до температуры кипения воды. Однако этот интервал масштаба разделен не на 100 частей, как в системе Цельсия, а на 80 градаций (градусов).

Шкала отношений. Шкала отношений – это измерительная шкала, на которой отсчитывается (определяется) численное значение измеряемой величины N как математическое отношение определенного размера Q_i к другому размеру Q_j, т.е.

Размер Q_j выступает в качестве единицы измерения, так как число N показывает, сколько размеров Q_i укладывается в размере Q_j. При необходимости соблюдения единства (тождественности, одинаковости) измерений в качестве размера Q_j используют узаконенную единицу измерения [Q]. В таком случае

Формирование шкалы отношений по возрастанию или убыванию численных значений N или величины Q = N [Q] есть построение шкалы отношений в цифровых пределах от нуля и возможно до бесконечности. В отличие от шкалы интервалов, шкала отношений не имеет отрицательных значений. Со значением N или Q возможны все математические действия. Поэтому шкала отношений является наиболее совершенной и широко применяемой. Однако построение шкалы отношений и измерение с ее помощью не всегда возможно. Например, время измеряется только по шкале интервалов, а вес обычно измеряют по шкале отношений, хотя его можно измерить и по шкале интервалов, так как шкала отношений является частным случаем шкалы интервалов.

Измерение интервала по шкале отношений осуществляют по формуле (теоретической модели) вида: или

Следует отметить, что численное значение N измеряемой величины может быть различным в зависимости от принятого размера единицы измерения [Q]. Так, например, 1 метр длины может быть выражен еще и в таких величинах как 100 см, 1000 мм или 0,001 км.

Итак, в качестве основного постулата метрологии и ее части – квалиметрии принимается утверждение о том, что «любое измерение по шкале отношений предполагает сравнение неизвестного размера с известным и выражение первого через второй в кратном или дольном отношении».

Шкала наименований. Шкалу наименований образуют, например, перечень видов выпускаемых изделий, виды металлической стружки («сливная», «скалывание», «надлома»), причина дефектов изделий и другие показатели, градации которых могут быть заданы только в виде перечня.

Характеристикой центральной тенденции (среднего) на шкале наименований обычно служит «мода» (М₀) – значение показателя, которое указано небольшим числом экспертов, или же наибольшее число раз встретилось в проведенном статистическом исследовании (если речь идет, например, о видах дефектов продукции).

Для целей квалиметрического анализа более или менее рациональной характеристикой рассеяния может служить показатель хи-квадрат χ² Пирсона:

(1.1)

где Q_i – ожидаемое число оценок в i-ой градации шкалы, причем это ожидаемое число рассчитывают по формуле (1.2)

здесь е_i – фактическое (экспериментальное) число оценок в i-ой градации; k – число градаций.

При этом, чем больше значение χ ², тем меньше рассеяние. Максимальному рассеянию (равномерному распределению) соответствует χ ² = 0.

Рассмотрим типичную задачу обработки данных, полученных в шкале наименований.

Пусть имеется совокупность М объектов, подлежащих оцениванию. Некоторые из этих объектов обладают интересующим нас признаком х. Проведено выборочное исследование N объектов, причем обнаружено n объектов с признаком х. Спрашивается, в каких пределах находится истинное число n₀ объектов с признаком х среди всех М объектов?

Приведем необходимые формулы.

Частость появления признака х: (1.3)

Среднеквадратическое отклонение величины n: (1.4)

Среднеквадратическое отклонение частости р: (1.5)

Доверительный интервал значений, в который с заданной (достаточно большой) вероятностью Р укладывается фактическое значение оцениваемой величины n₀ в любой совокупности N₁ объектов выбранных из М: n_{0, max, min} = N₁ּр  tּ_n, (1.6)

где t – коэффициент Стьюдента, выбираемый в зависимости от доверительной вероятности Р и общего числа наблюдений М по таблице 1 (здесь число степеней свободы f = N – 1).

Таблица 1

Значение коэффициента t Стьюдента для вычисления двухстороннего доверительного интервала для математического ожидания при числе степеней свободы f

f	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t95	12,71	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26	2,23
t90	6,31	2,92	2,35	2,13	2,01	1,94	1,89	1,86	1,83	1,81
f	12	14	16	18	20	25	30	100	∞
t95	2,18	2,15	2,12	2,10	2,09	2,06	2,04	1,98	1,96
t90	1,78	1,76	1,75	1,73	1,72	1,71	1,70	1,66	1,64

Выбор самой доверительной вероятности Р зависит от ответственности принимаемых решений: чем выше ответственность, тем больше Р. Большей частью выбирают следующие значения Р: 0,80; 0,90; 0,95.

Достоверность различия частей р₁ и р₂, найденных в группах N₁ и N₂ объектов проверяют по формуле: (1.7)

Вероятность различия находят по той же таблице для f = N₁ + N₂ – 2. Например, если f = 20 и t = 1,72; то Р = 0,90.

Количество объектов, которые нужно исследовать чтобы с вероятностью не менее Р можно было утверждать, что данный признак х будет обнаружен хотя бы 1 раз, находят по формуле: (1.8)

где Р – гарантируемая (достаточно большая) вероятность обнаружения признака в случае его наличия в р-ной части объектов; р – ожидаемая (достаточно малая) вероятность появления признака х.

Рассмотрим решение типичной задачи на примере.

Условие: Заводом выпущена опытная партия М = 1000 изделий. При выборочном контроле N = 100 изделий обнаружены дефекты трех видов в следующих количествах: а) – 17; б) – 8; в) – 13. Спрашивается: в каких пределах находится число дефектов каждого вида во всей партии?

Решение. Прежде всего зададемся доверительной вероятностью Р. Допустим, учитывая опытный характер партии и, следовательно, небольшие финансовые потери за счет этих дефектов, выбераем Р = 0,90. Тогда t = 1,66. Для дефектов вида а) находим, используя формулы (1.3) и (1.4):

.

Теперь по формуле (1.5) находим границы 90% доверительного интервала:

n_{a, max, min} = 1000 · 0,17  1,66 · 11,88;

n_{a, min} = 150,3;

n_{a, max} = 189,7.

Аналогичные подсчеты для дефектов видов б) и в) дают результаты:

n_{б, max, min} = 65,8 ÷ 94,2;

n_{в, max, min} = 112,4 ÷ 147,6.