16. Перестановки, розмiщення. Кiлькiсть впорядкованих k-елементних пiдмножин

n–елементної множини. Зв’язок мiж числами ( ) і ( ).

1) Нехай Ω− скiнченна n− елементна множина. Тоді k- елементним розміщенням визначеним на множині Ω називається iн’єкцiя (вiдображення в) {1,2,...,k}→Ω

2) n− елементне розмiщення, визначене на множинi Ω називається перестановкою.

Довiльне k− елементне розмiщення можна отримати в два етапи:

1. Обрати довiльну k-елементну підмножину Ω.

2. Занумерувати обранi елементи, тобто присвоїти кожному з них його номер. Число k−елементних розміщень, визначених на n−елементнiй множинi, позначається = n·(n−1)·(n−2)·(n−3)·...·(n−k + 1) .

Для добутку послiдовних натуральних чисел вводять спецiальне позначення: n!=1·2·3·4·..n , звідси:

= Для кiлькостi перестановок або впорядкувань на множинi Ω отримуємо = n!

3) Нехай Ω — скiнченна n–елементна множина. Будь-яка k− елементна пiдмножина множини Ω називається k–елементною комбiнацiєю визначеною на множинi Ω.

Число таких комбiнацiй позначається . довiльне k–елементне розмiщення можна отримати обравши k–елементну комбiнацiю, а потiм впорядкувавши її елементи. Першу дiю можна виконати способами, впорядкування можна виконати k! способами. За правилом добутку маємо = ·k

20. Формула включень I виключень

Доведення (метод математичної індукції):

База індукції: n=1 – очевидна, n=2 –

Індукційний крок: Припустимо, що формула виконується для n. Доведемо, що тоді вона виконується і для n+1.

звідки:

Перший i третiй доданки у правiй частинi є кiлькостями елементiв в об’єднаннях множин, кiлькiсть яких дорiвнює n i до них можна застосувати припущення iндукцiї:

Таким чином, об’єднавши вiдповiднi суми остаточно отримуємо:

що і треба було довести.

21. Класична ймовірність

Нехай Ω – деяка скінченна множина елементарних (найпростiших) подiй. Будь-яку пiдмножину A ⊆ Ω будемо називати подiєю.

Класичною ймовiрнiстю подiї A називається число:

Властивостi класичної ймовiрностi (наступнi властивостi легко отримати безпосередньо з означення):