14) Декартiв добуток множин.

Декартовим добутком множин A та B називається множина впорядкованих пар (a, b), де a ∈ A, b ∈ B, тобто A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}. Впорядкованiсть тут означає, що в парi (a, b) визначено, що першим елементом є a, адругим є b. Отже, рiвнiсть (a, b)=(b, a) можливалише за умови a = b. Зауважимо також, що операцiя декартового добутку, взагалi кажучи не є комутативною, тобто .

Означення 2. Нехай f : A → B - функцiя визначена на множинi A, яка приймає значення в множинi B. Графiком функцiї f називається пiдмножина декартового добутку A × B, яка визначається наступним чином Γf = {(a, b)|b = f(a), a ∈ A} ⊂ A × B. Якщо A, B− множини чисел, тобто A, B ⊆ R, то точки площини, з декартовими координатами (a, f(a)) називають також графiком функцiї. Для трьох множин можна

визначити такi добутки A×(B ×C), (A×B)×C та A × B × C = {(a, b, c)|a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}.

Всi три множини є рiзними (рiзними типами даних), тобто операцiя декартового добутку не є асоцiативною, але безумовно мiж вказаними множинами легко встановити взаємно-однозначну вiдповiднiсть. Дамо тепер саме загальне означення декартового добутку множин.

Означення 3.2.3. Нехай Ai, i ∈ I, довiльна сукупнiсть множин (I− довiльна множина). Тодi множина функцiй

називається декартовим добутком сукупностi множин {Ai|i ∈ I} i позначається

Зокрема, для декартових добуткiв двох та трьох множин будемо мати такi множини номерiв I = {1, 2}, I = {1, 2, 3} вiдповiдно. Для I = {1, 2, 3,...,n} вiдповiдний декартiв добуток можна записати у виглядi

Якщо I = N i A1 = A2 = ... = An = ... = R, то

є множиною числових послiдовностей. Якщо α ∈ ×i∈IAi, то α(i) називається проекцiєю α намножину Ai (познача- ється Pri(α)) а бо i− ю координатою елемента α. Для довiльної пiдмножини

проекцiя на Ai визначається наступним чином: Pri(Λ) = {Pri(λ)|λ ∈ Λ}

Для довiльного набору iндексiв {ii, i2,...,ik} можнавизначити проекцiю

Вiдображення декартових добуткiв.

Означення 4. Нехай Ai = A, i = 1, 2, . . . , n. Будь-яке вiдображення:

називається n− арною операцiєю визначеною на множинi A.

Приклад 3.2.1. Нехай A = N, вiдображення Next : N x → x + 1 ∈ N, є прикладом 1- арної (унарної) операцiї на множинi натуральних чисел, а вiдображення Sum : N × N (x, y) → x + y ∈ N,

Prod : N × N (x, y) → x · y ∈ N,

є прикладами операцiй арностi 2 (бiнарних) на множинi натуральних чисел. Вiдображення (x, y, z)→ НСД(x, y, z), (x, y, z) → НСК(x, y, z) є прикладами операцiй арностi 3 (тернарних операцiй). Для бiнарних операцiй замiсть запису f(x, y) вживають запис x ∗ y, де ∗− символ операцiї.

15. Основнi правила комбiнаторики. Задача про пiдрахунок кiлькостi функцiй визначених на скiнченних множинах. Кiлькiсть елементiв множини 2a.

1.Правило суми(розбиття): Якщо маємо k елементiв першого типу, то елемент першого типу можна обрати k способами, якщо маємо l елементiв другого типу, то елемент другого типу можна обрати l способами. Тодi елемент 1-го або другого типiв може бути обраний k + l способами.

|A ∪ B| = |A| + |B|

2. Правило добутку: Якщо елемент типу I можна вилучити n способами, а елемент типу II, пiсля вилучення елементу типу I, можна вилучити m способами, то послiдовне вилучення елементiв I-го типу, а потiм елементiв II-го типу можна зробити n · m способами

|A × B| = |A|·|B|

Узагальнене правило суми (розбиття). Якщо маємо скiнченну сукупнiсть множин A1, A2,...,An, що попарно не перетинаються ∀i, j(i<j) Ai ∩ Aj = ∅, то

=

Узагальнене правило добутку. Для довiльної скiнченної сукупностi множин A1, A2,...,An, маємо

=

Правило добутку для пiдрахунку кiлькостi функцiй, якi заданi на n− елементнiй множинi A i приймають значення в m− елементнiй множинi B:

|B^A| = |B|^|A|