12.Основні поняття теорії множини.

Поняття множини відноситься до фундаментальних невизначених понять математики

Множина - однозначно визначена сукупність елементів довільної природи.

Для множини — А, В, С, D, для елементів - a, b, c, d

Порожня - множина, що не містить жодного елем. Для будь-якої множини є її підмножиною.

, якщо кожен елемент з А лежить в В . А = В, коли   і 

Парадокс Рассела.

Розіб'ємо всі множини на два класи

1. Які не є елементами самих себе, тобто .

2. Які є елементами самих себе, тобто  .

Будь-яка множина відноситься або до першого, або до другого класу. Розглянемо множину М всіх множин з першого класу. До якого з двох класів належить М ? Припустимо, що до першого, тоді M , але ж за означенням елементами М є всі множини з першого класу, отже, М належить другому класу. Тоді   , але множина М складається тільки з множин першого класу, отже, М належить першому класу.

На початку 20-го сторіччя цей парадокс викликав сумніви у самих основах математики. Причиною виникнення цього парадокса є те, що наївне означення дозволяє оперувати з елементами довільної (невизначеної) природи.

Одним із шляхів подолання парадоксу є так звана теорія типів.

1) елементам (об'єктам) приписується тип 0;

2) множинам, елементами яких є елементи типу 0, приписується тип 1;

3) множинам елементами яких є множини 1-го типу приписується тип 2;

4) множинам, елементами яких є множини типу к приписується тип к + 1, к =1,2,3,....

На хлопський розум цей парадокс описується так: "В деякому місті живе брадобрей (той, що бриє людей). Він бриє усіх, хто не бриється сам. Парадокс: хто бриє його?!"

13.Операції над множинами.

• Об’єднання множин

• Перетин множин

• Різниця множин

• Доповнення множини

• Симетрична різниця множин

Властивості

• Ідемпотентність

• Комутативність

Асоціативність ;

 Дистрибутивність

 Доповнювнення ;

  Правило де Моргана

Доведемо перший закон дистрибутивностi.

Спочатку доведемо включення:

A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Для цього доведемо iмплiкацiю: x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Якщо x ∈ A ∪ (B ∩ C), то можливi випадки:

1) x ∈ A;

2) x ∈ B ∩ C

У випадку 1) маємо: x ∈ A ⇒ (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

У випадку 2) отримуємо: x ∈ B∩C ⇒ (x ∈ B)∧(x ∈ C) ⇒ (x ∈ A∪B)∧(x ∈ A∪C) ⇒ x ∈ (A∪B)∩(A∪C)

Доведемо тепер протилежне включення: A ∪ (B ∩ C) ⊇ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C). Можливi випадки:

a) x ∈ A;

b) (x A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)

У випадку a) отримуємо: x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C).

У випадку b): (x ∈ B) ∧ (x ∈ C) ⇒ x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ A ∪ (B ∩ C). Цим доведено протилежне включення, а отже i рiвнiсть множин.

Як вiдомо, числа можнадодавати i множити в довiльнiй кiлькостi. Якщо A = {a1, a2,...,an} ⊂ R− n− елементна(скiнченна) пiдмножинадiйсних чисел, то завдяки властивостям комутативностi та ассоцiативностi, однозначно визначенi їх сума та добуток: Оскiльки цi закони мають мiсце i в теорiй множин, то для довiльної скiнчен- ної сукупностi множин A1, A2,...,An можнавизначити множини:

Якщо замiсть скiнченної множини чисел ми маємо справу з нескiнченною послiдовнiстю: a1, a2, a3,...,an,..., ..., то вирази

називають числовим рядом та нескiнченним добутком. Числове значення цих виразiв, взагалi кажучи, не визначенi i потребують поняття границi. Прикладом нескiнченного ряду, для якого значення суми визначено, є сума спадної геоме- тричної прогресiї. Навiдмiну вiд чисел, легко визначити об’єднання i перетин нескiнченної послiдовностi множин:

Взагалi визначеними є об’єднання i перетин довiльної сукупностi множин. Припустимо, що I довiльна множинаi {Ai|i ∈ I} – довiльна сукупнiсть множин (можна сказати, що i− "номер"множини ), тодi

Узагальненi закони дистрибутивностi

Узагальненi закони де Моргано

Доведення першого закону де Моргано.