8. Метод математичної iндукцiї. Коректнiсть методу математичної iндукцiї. Нерiвнiсть Бернуллi.

Нехай А-предикат, визначений на множині натуральних чисел N.

A(1), ∀n(A(n)→ A(n + 1)) |= ∀nA(n).

Доведення методом від супротивного припустимо, що існує інтерпретація I=(D,Iс) таке, що при інтерпретації I мають місце рівності:

A(1)=1;

∀n(A(n)→ A(n + 1))=1;

∀nA(n)=0.

Якщо ∀nA(n)=0 , існують такі натуральні числа m, що A(m)=0. Нехай - це найменше таке число, тобто A( )=0.

Суперечність-

>1;

=0

.

Суперечність -

Нерівність Бернуллі

Для довiльного дiйсного числа x : x > −1 i довiльного натурального n має мiсце:

Iндукцiя буде вестись по n.

1)База iндукцiї: n = 1. При цьому значеннi n будемо мати ≥ 1 + 1 · x

i твердження справджується.

2)Iндукцiйний крок: Припустимо, що виконується нерiвнiсть ≥ 1 +nx.

Оскiльки, за умовою, x > −1, то знак нерiвностi не змiниться, якщо її помножити на (1 + x). Тодi отримаємо:

≥ (1 + nx)(1 + x) ≥ 1 + (n + 1)x + ≥ 1 + (n + 1)x

(тут вiдкинуто додатне число ). Оскiльки мiркування проводилися для до-

вiльного значення n, то тим самим доведено iндукцiйний крок:

∀n (( ≥ 1 + nx) → ( ≥ 1 + (n+ 1)x)).

Отже, згiдно A(1), ∀n(A(n)→ A(n + 1)) |= ∀nA(n )маємо ∀n ≥ 1 + nx.

10.Рекурентні співвідношення. Розв’язання рекурентностей. Задача про Ханойську вежу.

Числова послiдовнiсть є функцiєю натурального аргументу f : N → R

Рекурентним спiввiдношенням називається формула виду: = F( , , . . . , )

де F деяка функцiя вiд k аргументiв, яка дозволяє обчислювати наступнi члени послiдовностi через значення k попереднiх членiв. Якщо вказати першi

k члени послiдовностi , , . . . , , то рекурентне спiввiдношення однозначно визначає послiдовнiсть .

Якщо задано рекурентне спiввiдношення, то знаходження явних формул для послiдовностей, якi задовольняють цьому спiввiдношенню називають розв’язанням рекурентного спiввiдношення.

Розв’язати рекурентне співвідношення↔для довільних n знайти формулу обчислення n -го члена послідовності, в якій n-член послідовності залежить тільки від n і початкових членів.

11. Лiнiйнi рекурентнi спiввiдношення другого порядку та їх розв"язання.

Лiнiйним рекурентним спiввiдношенням другого порядку називається спiввiдношення

Послiдовностi, що задовольняють цьому спiввiдношенню називаються лiнiйними рекурентними послiдовностями другого порядку або послiдовностями типу Фiбоначчi.

Алгоритм розв’язання

Теорема Нехай задано спiввiдношення типу Фiбоначчi (2.2) i заданi початковi умови i . Тодi, якщо α i β — рiзнi коренi рiвняння

− Ax − B = 0, (2.3)

то розв’язок цього рекурентного спiввiдношення має вигляд , n≥ 2,

якщо рiвняння (2.3) має єдиний корiнь, тодi розв’язок цього рекурентного спiввiдношення має вигляд , де , — деякi коефiцiєнти, що залежать вiд початкових умов i коренiв рiвняння (2.3).

Доведення. Припустимо спочатку, що рiвняння (2.3) має рiзнi коренi. Тодi за теоремою Вiєта α + β = A i α · β = −B. Використовуючи цi рiвностi спiввiдношення (2.2) можемо переписати у виглядi

= (α + β) - α · β · - −1, n≥ 2, (2.4)

перенесемо α в лiву частину рiвностi

− = β( − α −1), n≥ 2.

Остання рiвнiсть означає, що послiдовнiсть +1 −α є геометричною прогресiєю зi знаменником β. Використовуючи формулу n+ 1–го члена геометричної прогресiї можемо записати

− α = ( − α ), n≥ 2.

Якщо ми тепер в рiвностi (2.4) перенесемо в лiву частину рiвностi β , то отримаємо

− β = α( − β ), n≥ 2,

тобто геометричною послiдовнiстю є також послiдовнiсть an+1 − β , а тому можемо записати

− β = ( − β ), n≥ 2.

Отже ми отримали такi двi рiвностi

− α = ( − α ), n≥ 2

− β = − β ), n≥ 2

виключаючи з яких i зробивши деякi перетворення можемо записати

= ,

Покладемо = I = , таким чином остаточно отримаємо формулу

= + , n≥ 2.

Нехай тепер рiвняння (2.3) має єдиний корiнь α. Тодi рiвнiсть (2.4) можна переписати у виглядi

− α = ( − α ), n≥ 2

Оскiльки це спiввiдношення справедливе для будь-якого n, то можемо його записати i для

= α + ( − α ), n≥ 2.

Замiнимо в попереднiй рiвностi на отриманий вираз

= α(α + ( − α ))+ ( − α ) = +2 ( − α ), n≥ 2.

Тепер виразимо −1 через −2 i пiдставимо в формулу i т.д. Повторюючи аналогiчну операцiю декiлька раз врештi отримаємо формулу

= + n ( − α ), n≥ 2.

Таким чином, ввiвши , , запишемо потрiбну формулу

= ( + n ), n≥ 2.

Ханойська вежа

Припустимо

К-ть кроків потрібних,щоб перекл. n-1 Тоді ,

База індукції: –виконується.

Індукційний крок: Припуст., що

Тоді за припущенням індукції = 2(