4. Поняття про днф та кнф. Теорема про еквiвалентнiсть довiльної формули числення

висловлювань деякiй ДНФ та КНФ.

— елементарна кон’юнкцiя

ДНФ — Формула, яка є диз’юнкцiєю елементарних кон’юнкцiй

Теорема Будь-яка формула числення висловлювань еквiвалентна деякiй ДНФ та КНФ.

Доведення. Доведенням теореми буде алгоритм зведення довiльної формули F до ДНФ та КНФ.

Алгоритм:

1. Виключити зв’язки →, ↔ з формули F;

2. Внести зв’язку ¬ в дужки так, що пiсля неї мають стояти тiльки простi висловлювання;

3. Застосувавши закони дистрибутивностi, отримати ДНФ (КНФ).

4. Використовуючи першi двi властивостi з 5), а також еквiвалентностi

X ∨ 1 ~ 1, X ∨ 0 ~ X , X ∧ 1 ~ X , X ∧ 0 ~ 0, X ∨ (X∧Y) ~ X , X ∧ (X ∨Y) ~ X . спростити отриманi ДНФ, КНФ.

5. Повнi системи логiчних зв’язок. Повнота однiєї з систем {∧, ¬}, {∨, ¬}, {→, ¬} та неповнота системи {∨, ∧,→, ↔}.

Набiр логiчних зв’язок називається повним, якщо для довiльної формули числення і висловлювань існує еквівалентна їй формула, в записі якої використовуються тільки зв’язки цієї системи.

Теорема 1.1.4.

1. Кожний з наборiв логiчних зв’язок: {¬, ∧, ∨}, {¬,→}, {¬, ∨}, {¬, ∧} є повним.

2. Набiр {→, ↔, ∨, ∧} не є повним.

Доведення. Нехай в записі F використ. лише зв’язки системи . X=1, a=1, b=1,… I(F)=1; I( )=0. Припущення неправильне, система неповна.

6. Булевi функцiї. Теорема про зв’язок з формулами числення висловлювань записаних у виглядi дднф та дкнф.

Булевий вектор-впорядков. набір нулів та одиниць

Булевою функц. f = f(x1, x2, ..., xn) вiд n змiнних називається закон. або правило, яке ставить у

вiдповiднiсть кожному бул. вектору або 0 або 1.

Теор. Будь-яка формула, яка не є тотожно хибною (тотожно-iстинною), еквiвалентна ДДНФ (ДКНФ).

ДДНФ-1; ДКНФ-0.

7. Предикати, висловлювальнi форми. Операцiї над предикатами. Синтаксис числення предикатiв, поняття iнтерпретацiї формул числення предикатiв. Тотожно iстиннi, тотожно хибнi, виконливi формули числення предикатiв.

Висловлювальна форма - це твердження, в якому пропущенi певнi слова; пiсля заповнення порожнiх мiсць назвами елементiв з певної множини D висловлювальна форма стає висловлюванням.

Функцiя, яка ставить у вiдповiднiсть кожному набору (d1, d2,...,dn), di ∈ D, елемент з множини {0, 1} називається n–арним предикатом визначеним на множинi D.

Операції квантування.

F(x2, x3,...,xn) = ∀x1A(x1, x2,...,xn) арностi n − 1

1. надати вiльним змiнним x2, x3,...,xn формули F значень з множини D;

2. для обраних значень x2 := d2, x3 := d3,...,xn := dn проiнтерпретувати всi висловлювання з множини {A(d, d2, d3,...,dn)|d ∈ D};

3. якщо принаймнi для одного значення d ∈ D результатом інтерпретації висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 0, то висловлювання F(d2, d3,...,dn)

iнтерпретується як 0, якщо ж для всiх значень d ∈ D, результатом iнтерпретацiї висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 1, то висловлювання F(d2, d3,...,dn) iнтерпретується як 1.

F(x2, x3,...,xn) = ∃x1A(x1, x2,...,xn) арностi n – 1

1. виконати пункти 1 та 2 з попереднього означення;

2. якщо принаймнi для одного значення d ∈ D результатом iнтерпретацiї

висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 1, то висловлювання F(d2, d3,...,dn)

iнтерпретується як 1, якщо ж для всiх значень d ∈ D, результатом iнтерпретацiї висловлювання A(d, d2, d3,...,dn) є 0, то висловлювання F(d2, d3,...,dn) iнтерпретується як 0.

A(x1,…,xn) – атомарні формули.

Якщо F1, F2 – ф-ли обч. Предикатів, то *F1 i F1*F2-теж ф-ли предикатів.

Тот. Хиба – коли для довільн. Набору (alf1,…,alfn) –0

Формула ∀yA(x, f(x, y)) → B(x) є формулою числення предикатiв, в якiй A(x, f(x, y)) i B(x) — атомарнi формули, x, y — змiннi (x – вiльна, y — зв’язана), f — функцiональна константа.