Задачи повышенной трудности
Доказать неравносильность формул:
1) (х)(у) Q(x, y) (y)(x) Q(x, y);
2) (х)P(x) (x)Q(x) (х) (P(x) Q(x));
3) (х)P(x) (x)Q(x) (х) (P(x) Q(x)).
Тема 4. Множества
Понятие множества – одно из основных понятий математики и оно первичное, то есть не сводимое к другим понятиям.
А = В означает: (х) ((хА) (хВ));
А В означает: (х) ((хА) (хВ));
А В = {х | (хА) (хВ)}; А В = {х | (хА) (хВ)};
А \ В = {х | (хА) (хВ)}; = {х | х 0}.
Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые являются подмножествами некоторого фиксированного множества. Так, например, в школьной алгебре таким множеством является множество действительных (вещественных) чисел R.
Эти множества называются универсальными и обозначаются буквой U. Итак, U = {х | хU 1}.
Изображения (диаграммы Эйлера-Венна) операций над множествами.
АВ АВ А \ В U А В
Практические задания
1. Докажите следующие тождества:
а)
А
\
В
= А
;
б)
А
\
(А
\
В)
= А
В;
в) В
(А
\
В)
= А
В.
(Замечание.
Можно использовать навыки упрощения
формул, приобретенные при прохождении
темы 1 и перевести задачу на язык
исчисления высказываний. Приведем
пример: А
\ (В
С)
= (А
\
В)
(А
\
С).
Соответствующая
задача выглядит так: докажите, что
.
Доказательство: L
=
,
R
=
;
L
R.
).
2. Докажите следующие утверждения:
-
а) В А (А \ В) В = А;
б) А В А В = А;
в) А В = (А В) \ В = А;
г) А В А С В С;
д) В А С = А \ В А = В С
е) С = А \ В В С = ;
ж) В С = А С А \ В ;
з) А В = А = В = ;
и) А В = А \ В А = ;
к) А В С А С В С;
л) А В С А \ В С;
м) А В С А В = В С.
В свете сделанного выше замечания приведем примеры доказательств с помощью исчисления высказываний:
1)
А
В
А
\
С
В
\
С.
Перевод: а
b╞
.
Доказательство:
.
2) С А В С А С В. Перевод: (с ab) (с а) (с b) 1.
Доказательство:
(с
ab)
(с
а)
(с
b)
аb
(
а)
(
b)
а
b
а
b
1.
3. В группе из 50 человек все три языка изучают 2 человека, немецкий и испанский – 7, английский и испанский – 8, немецкий и английский – 9, английский – 24, испанский – 23, немецкий – 25. Сколько человек изучает английский или немецкий языки?
4.
Приняв за универсальное множество
,
выясните количество элементов множества,
отвечающего формуле
,
относящейся к предыдущей задаче.