Самостоятельная работа

1. Придумайте примеры частично упорядоченных множеств с n₁ минимальными, n₂ максимальными, из которых n₃ являются одновременно минимальными и максимальными, n₄ наибольшими, n₅ наименьшими элементами, если это возможно (в случае невозможности существования заданного отношения сделайте обоснование):

а) n1 = 3, n2 = 5, n3 = 2, n4 = n5 = 0;

б) n1 = 2, n2 = 1, n3 = 1, n4 = 1, n5 = 0.

2. Докажите, что если Т – отношение порядка (линейного порядка), то тоже есть отношение порядка (линейного порядка).

3. Докажите, что для линейно упорядоченного множества понятие наибольшего (наименьшего) и максимального (минимального) элементов совпадают.

4. Пусть Т – отношение предпорядка (то есть оно рефлексивно и транзитивно). Положим a  b  ((a,b)T  (b,a)T). Докажите, что

а) если a  с, b  d, (a,b)T, то (с,d)T;

б)  есть отношение эквивалентности;

в) Отношение Т₁ на фактор-множестве ^М/ является отношением порядка, если (здесь , – классы эквивалентности с представителями а, b соответственно).

Задача повышенной трудности

Пусть заданы две системы (S₁; ) и (S₂; ) и S₁  S₂ = . Положим S = S₁  S₂ и определим отношение на S условием: x < y тогда и только тогда, когда x, y  S₁ и x y или x, y  S₂ и x y, или x  S₁ и y  S₂. Показать, что из линейной упорядоченности (S₁; ) и (S₂; ) следует линейная упорядоченность (S; ).

Тема 9. Отношения между множествами. Функциональные отношения (функции, отображения)

Т – отображение между множествами А и В, если Т  А  В.

Отношение Т отвечает требованию однозначности, если (x)(y)(z) ((x, y)T  (x, z)T (y = z)).

Отношение Т, обладающее свойством однозначности, называется функцией (отображением).

Обычно функции (отображения) обозначаются малыми латинскими и греческими буквами: f, h, ,  и т.п.

Вместо записи (a,b)  f принята запись f (a) = b.

Отображение i_M называется тождественным отображением (единичным отображением) множества М на себя.

Известно, что если f, g, h – функции, то f (g h) = (f g) h.

Отображение f называется инъективным, если (x)(y)(z) (f (x) = z  f (y) = z  х = у).

Отображение f называется сюръективным, если (y)(х) (f (x) = у).

Инъективное и сюръективное отображение f называется биективным отображением.

Функция h называется обратной к функции f, если h f = i_А, f h = i_В (где f : А  В).

Известно, что 1) если обратная функция существует, то она единственная;

2) обратная функция существует тогда и только тогда, когда данная функция биективна;

3) если h – обратная функция для f, то h = , f является обратной функцией для h.

В общем случае обратную для f функцию обозначают f ^–1.

Функция g называется ограничением функции f множеством А (или сужением функции f на множество А), если g  f и Dom g = A.

Довольно часто обратную функцию имеет не сама данная функция, а ее сужение. Так, например, обратная для sin функция arcsin определена для сужения sin на множество , arccos для сужения cos на множество [0,], arctg для сужения tg на , arcctg для сужения ctg на (0,), для сужения х² на [0, +),  для сужения х² на (, 0].