9

Оглавление

ИДПО. Задание на КР по Матлогике 1

Исчисление высказываний 1

Логика предикатов 2

Основные понятия 2

Подстановки 4

Унификация. Метод резолюции. 7

Алгоритмическая модель «Машина Тьюринга» 8

Идпо. Задание на кр по Матлогике Исчисление высказываний

1. Используя замкнутые семантические таблицы, доказать, что следующие выражения являются тавтологиями.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

2. Используя метод резолюций, доказать следования:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. .

3. Исчисление секвенций

Доказать, что следующие правила являются допустимыми (Правило называется допустимым в ИС, если из выводимости секвенций следует выводимость секвенции ):

1. (Сечение): ;

2. (Объединение посылок):

3. (Расщепление посылок): ;

4. (Разбор случаев): ;

5. (Контрапозиция):

6. (Доказательство от противного):

3. Вывести следующие секвенции:

   1. 

   2. ;

   3. 

   4. 

   5. 

   6. 

   7. 

   8. ;

   9. ;

   10. ;

   11. ;

   12. 

   13. ;

   14. ;

   15. 

   16. 

   17. 

Логика предикатов Основные понятия

1. Пусть f¹, g², h³  F. Являются ли термами следующие слова:

1. f¹(g²(v₀, v₁));

2. g²(f¹(v₂), h³(v₀, v1, v₂));

3. f¹(g²(v₀), h³(v₀, v₁, v₂))?

   2. Пусть f, g, h, F – одноместный, двуместный и трехместный функциональные символы соответственно. P, Q R – одноместный и трехместный предикатные символы соответственно. Являются ли формулами следующие слова:

1. Q(v₀, f(v₁), h(v₁, v₂, v₂));

2. P(v₀)v₁(Q (v₀, v₁, v₂) & P (g(v₀, v₁)));

3. Q (P(v₀), f(v₁), f(v₂));

4. f (h(v₀, v₁, v₁))?

3. Показать, что слово v₀v₁ … v₀ (P(v₁) & … &P(v₀)), где PR, не является формулой.

4. Выписать все подформулы формул:

1. Q(f(v₀), g(v₀, v₁));

2. 

4. Описать множество термов от одной переменной и

5.1. Функционального символа f¹;

5.2. Функционального символа g².

6. Какие вхождения переменных являются свободными, а какие связанными в следующих формулах:

   1. xP(x,y)yQ(y);

   2. xP(x,y)yR(x,y);

6.3.

7.Используя предикат <, записать следующие утверждения в системе (N; <, =, +, -):

7.1. Существует число х, меньшее 5 и большее, чем 7;

7.2.Для любого числа х существует у, меньшее х;

7.3. Для любого числа х существует число у, большее, чем х;

7.4. Для любых чисел х и у существует такое число у, что для любого z, если разность z-5<y, то разность x-7<3.

8. Пусть математическая модель сигнатуры имеет вид M=(N; S3, P3), где S(x,y,z) истинна тогда и только тогда, когда x+y=z, и P(x,y,z) истинна тогда и только тогда, когда x*y=z. Записать формулу с одной свободной переменной х, истинную в М тогда и только тогда, когда

   1. x=0;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. − нечетно

9. Рассмотрим модели с одним двуместным предикатом R(x,y). Записать, что данный предикат

   1. Рефлексивен;

   2. Симметричен;

   3. Транзитивен;

   4. Иррефлексивен;

   5. Асимметричен;

   6. Антисимметричен;

   7. R(x,y) – эквивалентность.

10. Выполнимы ли следующие формулы:

    1. xP(x);

    2. xP(x);

    3. xy(Q(x,x)&Q(x,y)

    4. xy(P(x)&P(y);

    5. xy(Q(x,y)zR(x,y,z));

    6. (P(x)yP(y)

11. Являются ли тождественно истинными следующие формулы:

    1. (xP(x)xP(x));

    2. (xP(x)xP(x);

    3. (xyQ(x,y)yxQ(x,y));

    4. (xyQ(x,y)yxQ(x,y))?

12. Привести к пренексной нормальной форме, считая U и B бескванторными формулами:

    1. xyzuU;

    2. (xyU(x,y)&xyB(x,y));

    3. (xyU(x,y)xyB(x,y));

    4. (xyU(x,y)xyB(x,y)).

13. Для формулы xzyu ((y>z  y>x) & (u<z) & (u<x)) построить сколемовскую формулу. Для системы (N,<) найти требуемое обогащение.

14. Для формулы xyzt (P(x,t) & P(y,z)) построить сколемовскую формулу. Для любой системы ((М, P), где М={0,1}, найти подходящее обогащение.

15. Для формулы xyzvt (S(x,y,y)  (S(a,v,x) & P(v,t,t))) и системы (N, S³, P³) построить сколемовские функции, если S(x,y,z)=t  x+y=z; P(x,y,z)=t  x*y=z.

16. Привести к СНФ:

    1. (xyQ(x,y) xyQ(x,y));

    2. xyzv R(x,y,z,v);

    3. xyvz R(x,y,z,v).