7. Для определения нового (третьего) опорного плана формируем симплекс-таблицу 2.4.

Направляющий столбец и направляющую строку ищем аналогично п.5.

Направляющему столбцу соответствует максимальный по модулю отрицательный элемент индексной строки . Следовательно, переменную следует перевести из свободных в базисные.

Направляющей строке соответствует минимальное значение : . Следовательно, переменную следует перевести из базисных в свободные.

Разрешающим является элемент . Направляющие строка и столбец обозначены в симплекс-таблице 2.2 стрелками.

На место переменной в столбце «Базис, » ставим переменную , в разрешающую строку в столбце «Базис, » записываем значение коэффициента целевой функции при переменной , остальные элементы строки получаются делением элементов строки на разрешающий элемент .

В симплекс-таблице 2.3 элемент , а остальные элементы разрешающего столбца полагаем равными 0. Оставшиеся элементы строк вычисляем по правилу прямоугольника .

Симплекс-таблица 2.4.

Базис			cj	30	40	0	0	0		j*=4
xi	i	ci	bi	ai1	ai2	ai3	ai4	ai5
x1	1	30	18	1	0	0,1	0	–0,05	50,15	–
x4	4	0	24	0	0	0	1	–0,4	62,5	–
x2	3	40	14	0	1	–0,03	0	0,18	63,38	–
j			0=1100	0	0	1,8	0	5,7	176,03

Новый опорный план имеет вид: .

Для новых базисных неизвестных величины _1,4,2 = 0. Подсчитываем ₀ = Q; _j , где , :

Q (Х₃)= ₀ =30 18 + 024+ 4014= 1100;

₁ =3018 + 0  0 + 400 – 30 =0 ;

₂ = 300 + 0  0 + 40  1 – 40 = 0 ;

₃ = 301 + 0  0 +40  (-0,03) – 0 = 1,8;

₄ = 300 + 0  1 + 40  0 – 0 = 0.

₅ = 30(-0,05) + 0  (-0,4) + 40  0,18 – 0 = 5,7.

В индексной строке нет отрицательных чисел, поэтому полученный опорный план Х₃ является оптимальным. При этом Q_max= 1100 (руб.).

Ответ: x^* = (18; 14). Q_max = 1100 руб.

Задача №4. Для платёжной матрицы

определить нижнюю и верхнюю цены игры, проверить, существует ли седловая точка. А также:

а) графически определить чистую цену игры и оптимальную стратегию стороны А;

б) графически определить чистую цену игры и оптимальную стратегию стороны В.

№3 . Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной матрицей

.

Решение.

В задаче рассматривается антагонистическая игра партнеров-соперников А и В, имеющих в своем распоряжении, соответственно, n=2 и m=3 стратегии. При этом заданная платежная матрица игры имеет вид:

.

Основное допущение теории игр состоит в том, что каждый игрок стремиться обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях других игроков. Если матрица выигрышей игрока А – это Q, тогда для игрока В – это –Q. Игрок А полагает, что В выберет стратегию, обеспечивающую его выигрыш (минимизирующий выигрыш игрока А)., т.е. стратегия игрока А состоит в выборе строки и в ней элемента матрицы Q, которая согласно максминной стратегии обеспечивает выигрыш не меньший нижней цены игры

.

Для игрока В стратегия минимаксная, его проигрыш не будет превосходить величины верхней цены игры

.

Если верхняя цена игры равна нижней, то значение представляет собой цену игры, а элемент – это седловая точка матрицы Q/

Решение игры определяется следующими вероятностями:

;

;

;

.

Таким образом, ; .

Полученный результат означает, что оптимальная смешанная стратегия игрока А состоит в том, чтобы применять чистые стратегии A₁ и A₂ случайным образом с вероятностями соответственно и , а игрока В – чистые стратегии В₁ и В₂ – с вероятностями и . Найдем цену игры с, т.е. средний выигрыш игрока А при оптимальных смешанных стратегиях:

.

Цена игры, т.е. средний выигрыш игрока А, равен нулю. Следовательно, эта игра невыгодна ни для игрока А , ни для игрока В.

Ответ: ; ; с=0.