Практическая работа № 11. Выполнение операций над предикатами.
1 Цель работы
Научиться:
- выполнять действия над предикатами;
- определять вид предиката;
- применять к предикатам кванторные операции.
2 Теоретическая часть
Предика́т –любое математическое высказывание, в котором есть, по меньшей мере, одна переменная.
Предика́т (n-местный) —
это функция с множеством
значений 
(или
«ложь» и «истина»). Область определения предиката задаётся или подразумевается по умолчанию.
Предикат
называют тождественно-истинным и
пишут
,
если на любом наборе аргументов он
принимает значение 1.
Предикат
называют тождественно-ложным и
пишут
,
если на любом
наборе аргументов он принимает значение 0.
Например, обозначим предикатом Q(x,y)=«x=y», где x и y принадлежат множеству действительных чисел. В этом случае предикат Q будет принимать истинное значение для всех равных x и y (по умолчанию числовые аргументы принимают любые действительные значения).
Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения - истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.
Множеством
истинности Т предиката
называется
подмножество области определения
предиката, на котором он истинен.
Операции над предикатами.
Конъюнкцией двух
предикатов А(х) и В(х) называется новый
предикат
,
который принимает значение «истина»
при тех и только тех значениях х , при
которых каждый из предикатов принимает
значение «истина», и принимает значение
«ложь» во всех остальных случаях.
Множеством истинности Т предиката
является пересечение множеств истинности
предикатов А(х) – Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1
∩Т2. Например: А(х)= «х – четное число»,
В(х)= « х кратно 3».
=
«х – четное число и х кратно 3»= «х делится
на 6».
Дизъюнкцией двух
предикатов А(х) и В(х) называется новый
предикат
,
который принимает значение «ложь» при
тех и только тех значениях х, при которых
каждый из предикатов принимает значение
«ложь» и принимает значение «истина»
во всех остальных случаях. Областью
истинности предиката
является объединение областей истинности
предикатов А(х) и В(х).
Отрицанием предиката
А(х) называется новый предикат
,
который принимает значение «истина»
при всех значениях х , при которых
предикат А(х) принимает значение «ложь»,
и принимает значение «ложь», если А(х)
принимает значение «истина». Множеством
истинности предиката
является дополнение к множеству Т.
Импликацией предикатов
А(х) и В(х) называется новый предикат
,
который является ложным при тех и только
тех значениях х , при которых А(х) принимает
значение «истина», а В(х) – значение
«ложь» и принимает значение «истина»
во всех остальных случаях. Читают: «Если
А(х), то В(х)». Например. А(х)= «натуральное
число х делится на 3». В(х)= «натуральное
число х делится на 4», можно составить
предикат
=
«если натуральное число х делится на
3, то оно делится и на 4». Множеством
истинности предиката
является
объединение множества истинности
предиката В(х) и дополнения к множеству
истинности предиката А(х).
Предикат
В(х) является
следствием
предиката А(х)
(
),
если область истинности В(х) содержится
в области истинности А(х).
Предикаты А(х)
и В(х) равносильны,
если их области истинности совпадают.
Кванторные операции.
Квантор
общности 
.
Квантор существования
.
Выражение
означает
высказывание, истинное если
,
читается
«для всякого х
».
Выражение
означает
высказывание, истинное если предикат
истинен хотя бы при одном значении х,
читается
«существует х, для которого
».