МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«РОСТОВСКИЙ-НА-ДОНУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ»

Методические указания

по выполнению практических работ

учебной дисциплины

ЕН.02 «Элементы математической логики»

для специальности 230115

«Программирование в компьютерных системах»

(базовой подготовки)

Ростов-на-Дону

2014 год

ОДОБРЕНО УТВЕРЖДАЮ:

На заседании цикловой комиссии (кафедры) Зам. директора по УР

______________________________________ Е.Л.Жукова

Протокол №___от_______________2014 года

Председатель ЦК(зав. кафедрой) «____»_________________2014 г.

______________________________________

Методические указания по выполнению практических работ учебной дисциплины «Элементы математической логики» разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования специальности 230115 «Программирование в компьютерных системах», учебного плана и рабочей программы.

Организация-разработчик: Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ростовской области «Ростовский-на-Дону колледж связи и информатики»

Разработчик:

Кечек И.А. - преподаватель государственного бюджетного образовательного учреждения среднего профессионального образования Ростовской области «Ростовский-на-Дону колледж связи и информатики»

Пояснительная записка

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Элементы математической логики» предназначены для студентов 2 курса специальности 230115 «Программирование в компьютерных системах». составлены в соответствии с ФГОС СПО и рабочими программами по дисциплине «Элементы математической логики».

В пособии приведены пятнадцать практических работ. Каждая работа состоит из пяти частей:

• цель работы;

• теоретическая часть, где даются все основные определения, теоремы, формулы, теоретические вкладки по данной теме;

• практическая часть, состоящая из решений всех стандартных задач, приведенных в практических заданиях;

• практические задания в четырёх вариантах;

• контрольные вопросы.

Пособие можно рекомендовать студентам также для подготовки к семинарам, экзамену.

Содержание.

№ 1 Выполнение операций над множествами

№ 2 Нахождение таблиц истинности алгебры высказываний.

№ 3 Упрощение формул алгебры высказываний.

№ 4 Решение задач логического характера.

№ 5 Нахождение нормальных форм формул алгебры высказываний.

№ 6 Минимизация алгебраических преобразований.

№ 7 Выполнение анализа релейно-контактных схем.

№ 8 Выполнение синтеза релейно-контактных схем.

№ 9 Нахождение полинома Жегалкина.

№ 10 Определение полноты системы булевых функций.

№ 11 Выполнение операций над предикатами.

№12 Выполнение равносильных преобразований формул алгебры предикатов.

№13 Применение и конструирование машин Тьюринга.

№ 14 Применение рекурсивных функций при построении алгоритма.

№15 Применение марковских подстановок и нормальных алгоритмов к словам.

Практическая работа № 1. Выполнение операций над множествами.

1 Цель работы

Научиться:

- выполнять операции над множествами;

- использовать законы теории множеств для упрощения выражений и доказательства справедливости утверждений.

2 Теоретическая часть

Под множеством понимают, следуя основателю теории Г. Кантору, «многое, мыслимое как единое». Другими словами, множество есть совокупность определенных вполне различаемых объектов (субъектов), которые называются элементами, объединенных некоторым свойством. Множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита. В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые нами множества лежат в некотором общем для всех, универсальном множестве, которое обозначим .

Множества можно схематично изображать диаграммами (кругами) Эйлера–Венна. Диаграмма Эйлера – Венна состоит из прямоугольника, иллюстрирующего универсальное множество , и замкнутых линий (обычно кругов), все точки внутри которых изображают элементы некоторого множества А. Над множествами можно совершать некоторые операции и задавать между множествами определенные отношения.

Два множества А и В равны, если они содержат одни и те же элементы. Обозначение: А= В. Множество А есть подмножество множества В, если каждый элемент А является элементом и В. Говорят, что А включено в В: А В. Если А В и , то множество А есть собственное подмножество множества В: .

Вообще для произвольных двух множеств А и В возможны 3 варианта отношений.

Вариант 1 – множества А и В имеют общие элементы:

Вариант 2 – множества А и В не имеют общих элементов:

Вариант 3 – одно из множеств является собственным подмножеством другого:

или

Дополнением множества до универсального множества называется множество , элементы которого не принадлежат .

Пересечением двух множеств А и В называется множество A , состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

Объединением множеств А и В называется множество A B, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Разностью между множествами А и В называется множество , состоящее из элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество ( , равное объединению двух разностей и .

Порядок выполнения операций в выражениях определяется следующим образом. Прежде всего выполняется операция дополнения множества до универсального множества . Затем выполняются последовательно слева направо действия, заданные в скобках. Пересечение считают теоретико-множественным умножением, а объединение – теоретико-множественным

сложением. Поэтому сначала выполняют операцию пересечения и только после нее – объединения или разности. Пересечение и объединение рассматривают как умножение и сложение в силу того, что своими свойствами они напоминают эти арифметические операции. По этой же причине пустое множество похоже на число 0, а универсальное множество – на число 1.

Законы теории множеств, верные для любых множеств А, В, С.

1. AB BA – закон коммутативности пересечения.

2. AB BA – закон коммутативности объединения.

3. ABCABC – закон ассоциативности пересечения.

4. ABCABC – закон ассоциативности объединения.

5. ABCABAC– закон дистрибутивности пересечения относительно объединения.

6. ABCABAC– закон дистрибутивности объединения относительно пересечения.

7. AAA – закон идемпотентности пересечения.

8. AAA – закон идемпотентности объединения.

9. A. 10. AA. 11. A A. 12. A = .

13. A – закон противоречия. 14. A  – закон исключенного третьего.

15.   – закон де Моргана для дополнения пересечения.

16.  – закон де Моргана для дополнения объединения.

17. ABAA – закон поглощения. 18. ABAA – закон поглощения.

19. ABA A – закон склеивания. 20. ABA A – закон склеивания.

21. A  – закон инволюции. 22. AB A . 23. AB ABAB.

Замечание 1. Очевидно, что = и =.

Замечание 2. Законы де Моргана можно распространить на большее число

множеств.