12. Математическое обеспечение подсистемы формирования изображений.

12.1.Математические модели и их роль в проектировании.

12.2.Модель изображения. Графические примитивы.

12.3.Координатные системы и геометрические преобразования.

12.1.Математические модели и их роль в проектировании.

Диалоговые графические подсистемы САПР оперируют графическими и символьными образами проектируемых объектов и процессов. Природа прикладных моделей прежде всего математическая: каждому состоянию объекта явно или неявно соответствует некоторая математическая модель. Математическая модель - это класс абстрактных (символических) математических объектов и отношений между этими объектами. Математическое отношение - это гипотетическое правило, связывающее некоторое количество абстрактных объектов. Математические операции (функции, отображения) - это виды отношений, связывающие один или несколько объектов (множеств объектов), называемых операндами операций (аргументами функций, прообразами отображений), с другим объектом (множеством объектов) - результатом операции (значением функции, образом отображения).

Аксиоматическое определение абстрактной математической модели с помощью ее свойств для множества объектов, отношений и операций данной модели вводит непротиворечивый набор правил (определяющих аксиом), устанавливающих операции и общие отношения между их результатами.

При конструктивном определении новая математическая модель строится на базе уже известных математических понятий и моделей. Простейшими примерами конструктивных определений являются матричные и векторные операции, предъявляемые через операции сложения и умножения действительных чисел.

Одна из главных задач машинного моделирования - реализация моделей, адекватно отображающих наиболее существенные свойства объектов и процессов предметной области. Сущность результатов этих отображений с помощью графических устройств и операций над ними средствами машинной графики носит геометрический характер: все манипуляции с определениями и преобразованиями систем координат и графических примитивов, процедуры отсечения, проецирования, определения видимости, затемнения, реализуемые программно или аппаратно, основаны на использовании некоторого набора математических действий над некоторым множеством абстрактных математических объектов - геометрических объектов.

Математическое определение моделей, отражающих геометрические свойства реальных предметов и процессов (геометрических моделей), базируется на введении в некотором пространстве систем координат, допустимых преобразований, множества элементарных объектов - точек пространства, множеств объектов, связанных с точками некоторыми отношениями и представляющими собой определенные на некотором множестве областей пространства функций точек. Система отсчета для класса или множества классов объектов задана, если каждому объекту соответствует система действительных чисел - координат объекта. Каждая система координат соответствует системе отсчета, а объект определяется во всех системах отсчета постоянным числом компонент. Представления объектов в различных системах отсчета удовлетворяют взаимно однозначным преобразованиям.

Класс объектов называется классом геометрических (или инвариантных) объектов, если математические свойства объектов этого класса могут быть описаны в терминах операций, не зависящих от системы отсчета. Треугольник, вектор, поверхность - простые примеры геометрических объектов.

Разделение функций между информационным и программным обеспечением в объектно-ориентированных системах неоднозначно. Каждая программа оперирует с конкретной структурой данных. Современные базы данных кроме структур данных содержат в себе и средства манипулирования этими структурами.

Базовое программное обеспечение геометрических расчетов является основой геометрического моделирования на всех этапах и во всех режимах автоматизации управления процессами изготовления, проектирования изделий, в том числе и в диалогом режиме проектирования.

Отметим необходимые составные части модели:

1)основные графические примитивы и их взаимоотношение;

2)пространственное размещение и форма компонент изображения, включая информацию, описывающую их внешний вид;

3)связь компонент или их топология, информация о связности может быть задана как абстрактно, например, в матрице связанности элементов блок - схемы, так и собственной геометрией, например, при задании компонент интегральной схемы;

4)специфические данные в виде различных характеристик или описаний;

5)состав и спецификации обрабатывающих функций, связывающих прикладную модель ДГС с другими моделями.