95

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Институт экономики, управления и права

М.В. Лагунова, в.И. Дергунов, н.Д. Жилина

Позиционные и метрические задачи

графического моделирования трехмерных

объектов

Нижний Новгород

ННГАСУ

2013

ББК 22. 151.3 (075)

УДК 514.18 (075)

Лагунова М.В., Дергунов В.И., Жилина Н.Д. Позиционные и метрические задачи графического моделирования трехмерных объектов [текст]: учебное пособие / И.И. Кочетков; Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т.– Н.Новгород: ННГАСУ, 2013. – 91 с.

В учебном пособии рассмотрены основные задачи начертательной геометрии, позволяющие студентам, освоить алгоритмы решения базовых позиционных и метрических задач. Приведены варианты заданий.

ББК 22. 151.3 (075)

© Коллектив авторов, 2013

© ННГАСУ, 2013

Содержание

Принятые обозначения 4

Введение 7

Задачи начертательной геометрии 7

Методы проецирования 7

Свойства операции проецирования 8

Комплексные чертежи 10

Проецирование точки на 2 плоскости проекций 10

Проецирование точки на 3 плоскости проекций 12

Построение проекций точки по координатам 14

Проецирование прямой 16

Прямые частного положения 17

Метод конкурирующих точек 20

Взаимное положение прямых 21

Проецирование плоскостей 21

Плоскости частного положения 23

Некоторые позиционные задачи 28

Задачи принадлежности 28

Линии уровня плоскости 31

Задачи пересечения 32

Некоторые метрические задачи 37

Определение истинной величины отрезка прямой по методу прямоугольного треугольника 37

Способы преобразования комплексного чертежа 39

Способ замены плоскостей проекций 39

Способ вращения вокруг проецирующей прямой 43

Самостоятельная графическая работа 47

Общие требования 47

План работы 48

1. Построение фигур по координатам точек и геометрическим условиям 48

2. Определение собственной видимости ребер многогранника 53

3. Построение линии пересечения многогранника заданной плоскостью общего положения 56

4.Определение видимости сечения 68

5.Определение относительной видимости многогранника и секущей плоскости 68

6.Определение истинной величины сечения 70

7.Построение развертки многогранника 71

8.Перенос на развертку линии сечения 78

Варианты заданий для выполнения СПР 81

Литература 93

Принятые обозначения

Геометрическая фигура обозначается прописной греческой буквой  (фи).

Для плоскостей проекций используют прописную греческую букву П (пи). Основные плоскости проекций индексируются в следующем порядке:

• горизонтальная плоскость проекций – П₁ (пи один);

• фронтальная плоскость проекций – П₂ (пи два);

• профильная плоскость проекций – П₃ (пи три);

Для дополнительных плоскостей проекций используются последующие индексы П₄, П₅, П₆ …, для любой плоскости проекций – индексы П_i или П_j.

Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, В, С, D, Е, F, G, H, I, J, K, L, M, O, P, Q, R, S, T, V, W, X, Y, Z или цифрами 1, 2, 3, 4 …

Обозначение точки без индексов указывает на то, что изображен оригинал (точка расположена в пространстве). Индексы в обозначении точки помогают ориентироваться в том, какая проекция точки изображена:

• индексом i или j обозначается любая проекция (проекция точки на любую плоскость проекций П_i): А_i, В_i, 1_i, 2_i…;

• индексом 1 обозначается горизонтальная проекция (проекция точки на горизонтальную плоскость проекций П₁): А₁, В₁, 1₁, 2₁…;

• индексом 2 обозначается фронтальная проекция (проекция точки на фронтальную плоскость проекций П₂): А₂, В₂, 1₂, 2₂…;

• индексом 3 обозначается профильная проекция (проекция точки на профильную плоскость проекций П₃): А₃, В₃, 1₃, 2₃…;

• индексом 4 и последующими обозначается проекция точки на дополнительную плоскость проекций, которая на чертеже обозначена П₄: А₄.

Оси проекций обозначают латинскими строчными буквами x, y, z, где х – ось абсцисс, y – ось ординат, z – ось аппликат.

Ось координат образуется пересечением двух плоскостей проекций, поэтому обозначение оси обычно включает два индекса, например, x₁₂ – ось х, образованная пересечением горизонтальной плоскости проекций П₁ и фронтальной плоскости проекций П₂; x_{14 -} – ось х, образованная пересечением плоскостей П₁, П_4.

Для начала координат обычно используют букву О.

Прямые и кривые линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, в, с, d, е, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, v, w. Линии уровня обозначают специально: h – горизонтали, f – фронтали, р – профильные прямые.

Индексы после буквы показывают на какую из плоскостей спроецирована линия, например, а₁ – горизонтальная проекция прямой а на горизонтальную плоскость проекций П₁), с₃ – профильная проекция линии с, f₁ – горизонтальная проекция фронтали f, h₇ – проекция горизонтали h на дополнительную плоскость П_7.

Отрезки обозначают концевыми точками, например: А₂В₂ ‑ фронтальная проекция отрезка АВ.

В случае перемещения точек и линий в той же системе плоскостей в результате геометрических преобразований целесообразно оставлять одно и то же обозначение и использовать для отличий различные способы, например, апострофы: B₂’, B₂’’, B₂’’’ и пр.

Плоскости и поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита: α (альфа), β (бета) γ (гамма),  (дельта), ε (эпсилон), ζ (дзета), η (эта),  (тета),  (йота),  (капа),  (лямбда),  (мю),  (ню),  (кси),  (омикрон),  (пи),  (ро),  (сигма),  (тау),  (ипсилон),  (фи),  (хи),  (пси),  (омега).

Способ задания (определитель) плоскости или поверхности указывают в скобках, например, α(А; В; С) – плоскость  задана тремя точками А, В, С.

Следы плоскостей обозначают теми же буквами, но с добавлением подстрочного индекса, обозначающего плоскость проекций, в которой лежит след, например, _П1 – горизонтальный след плоскости . Если след обладает собирательным свойством, его индексируют только цифрой, например ₁ – горизонтальный след плоскости  с собирательным свойством.

Для краткой записи заданий, и хода решения используют следующие условные значки:

 ‑ угол

 ‑ пересечение объектов;

 ‑ инцидентность (взаимная принадлежность);

 ‑ включение объекта;

‑ тождественное совпадение;

// ‑ параллельность;

 ‑ перпендикулярность;

• ‑ скрещивание;

 ‑ расстояние между фигурами;

 ‑ результат операции проецирования;

= ‑ результат операции;

 ‑ следствие;

 ‑ отрицание знака.

Приведем примеры:

М = n  β ‑ точка M является точкой пересечения прямой n и плоскости β.

L   ‑ точка L не инцидента плоскости .

α (b // с) ‑ плоскость α определяется двумя параллельными прямыми b и с.

n  m ‑ прямая n перпендикулярна прямой m.

R ‑ расстояние между точкой R и плоскостью .

Для графического исполнения комплексных чертежей используют следующие типы линий и условных значков:

‑ проекции точек изображают окружностями 1,5 мм;

‑ оси и линии связи проекций показывают линией 0,35 мм;

‑ видимые проекции показывают сплошной линией 0,7 мм;

‑невидимые проекции фигур показывают штриховой линией

0,35 мм;

‑ прямой угол между прямыми;

‑ параллельность прямых.