1.2. Графоаналитический способ определения силы давления и центра давления

Р ассмотрим плоскую прямоугольную поверхность ABEF шириной b, находящуюся под давлением жидкости (рис. 1.3). Глубина до низа поверхности H. Выделим на поверхности элемент шириной b и высотой dh. Сила давления жидкости на этот элемент:

, (1.16)

где h – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести выделенного элемента.

Эпюра избыточного гидростатического давления на рассматриваемую поверхность будет иметь вид треугольника с катетом внизу . Произведение представляет собой элемент площади эпюр гидростатического давления dF. Так как b для прямоугольных поверхностей величина постоянная, то сила давления на поверхность АВEF определяется по формулам:

; (1.17)

, (1.18)

где F – площадь эпюры давления.

Таким образом, сила давления на прямоугольную фигуру может быть выражена произведением площади эпюры гидростатического давления F на ширину фигуры b.

Вектор силы давления P проходит через центр тяжести эпюры гидростатического давления. Пересечение вектора силы давления с поверхностью, в пределах которой действует давление, определяет положение центра давления D.

Варианты определения центра тяжести эпюр давления трапецеидальной формы графическими методами показаны на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Варианты определения центра тяжести эпюр давления графическими методами

Пример 2. Определить опрокидывающий момент графоаналитическим методом для задачи, условия которой приведены в примере 1.

Рекомендуется начертить стенку в масштабе 1:50 (рис. 1.5). Масштаб эпюр произвольный.

Решение

Площади эпюр:

Н/м;

Н/м;

Н/м.

Силы гидростатического давления:

Н;

Н;

Н.

Плечи сил определяются измерением с учетом масштаба a₁ = 2,57 м, a₂ = 0,44 м, a₃ = 0,51 м.

Суммарный опрокидывающий момент

Н·м.

Относительная ошибка графоаналитического метода составила

%.

Рис. 1.5. Графоаналитический метод решения

1.3. Определение сил гидростатического давления на криволинейные поверхности

В общем случае для определения силы P по величине и направлению достаточно вычислить ее проекции на три взаимно перпендикулярные направления, например на три оси координат. В этом случае величина силы гидростатического давления определяется по формуле

, (1.19)

а направление – косинусами направляющих углов, т. е. углов, образующихся между направлением силы давления и осями координат

; ; . (1.20)

В большинстве случаев достаточно брать два направления: вертикальное и го­ризонтальное.

Рассмотрим в системе координат криволинейную поверхность AB цилиндрической формы (рис. 1.6). Ось X совместим с уровнем свободной поверхности жидкости, где давление P₀ равно P_ат. Ось Y направим вниз. Выделим на ней элементарную площадку площадью d. Сила давления dP на эту площадку будет направлена нормально к поверхности. Разложим силу dP на две составляющие: горизонтальную dP_x и вертикальную dP_y. Угол наклона силы dP к горизонту жидкости обозначим через  Согласно правилу параллелограмма составляющие определяются как

; . (1.21)

Обозначим глубину погружения центра тяжести элементарно малой площадки d относительно свободной поверхности через h; тогда сила , где p – избыточное давление в пределах элементарно малой площадки d.

Избыточное давление равно , следовательно, сила . Горизонтальная составляющая силы гидростатического давления будет

, (1.22)

представляет площадь проекции элементарно малой площадки d на вертикальную плоскость, обозначим эту проекцию d_y, тогда

. (1.23)

Горизонтальная составляющая силы давления на криволинейную поверхность

, (1.24)

– представляет собой статический момент площади всей проекции _y относительно свободной поверхности и равен произведению площади всей вертикальной проекции _y на глубину погружения h_C ее центра тяжести. Следовательно, горизонтальная составляющая силы давления на криволинейную поверхность равна силе давления на ее вертикальную проекцию, перпендикулярную искомой составляющей, и проходит через центр давления вертикальной проекции

. (1.25)

Для вертикальной составляющей элементарной силы давления на выделенную площадку

. (1.26)

Произведение есть площадь проекции площадки d на горизонтальную ось; обозначим эту проекцию d_x. Произведение есть объем dW элементарной призмы, заштрихованной на рис. 1.6, а – вес жидкости в объеме этой элементарной призмы, равный .

Вертикальная составляющая силы давления

; (1.27)

, (1.28)

где W – объем, полученный в результате суммирования элементарных объемов dW по всей криволинейной поверхности АВ.

Объем W называется телом давления и представляет собой объем, ограниченный криволинейной поверхностью AB, проекцией ее на плоскость свободной поверхности AО и проекцией на вертикальную плоскость BO (см. рис. 1.6).

Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления.

Н аправление вертикальной составляющей P_y (вверх или вниз) определяется взаимным расположением жидкости и поверхности. Если тело давления образовано жидкостью (положительное тело давления), то вертикальная составляющая направлена вниз, если же тело давления находится вне жидкости (отрицательное тело давления), то P_y направлена вверх. Вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную поверхность проходит через центр тяжести тела давления.

Сила давления определяется как равнодействующая горизонтальной и вертикальной составляющих

. (1.29)

Направление силы давления по отношению к горизонту жидкости определяется углом , причем

. (1.30)

Пример 3. Заменить в условии задачи примера 1 нижний элемент криволинейной призмой радиусом h₃ (рис. 1.7). Найти опрокидывающий момент M_о3.

Решение

Горизонтальная составляющая силы гидростатического давления, действующей на цилиндрическую поверхность,

Н.

Объем тела давления

м³.

Вертикальная составляющая

Н.

Сила гидростатического давления, действующая на цилиндрическую поверхность,

Н.

Плечо силы гидростатического давления определяется по формуле

м.

Опрокидывающий момент

Н.