6.2.2. Потери напора по длине при ламинарном режиме движения

Рассмотрим установившееся ламинарное движение жидкости в цилиндрической трубе радиусом r₀ (рис. 6.2).

Совместим ось X с осью трубы, а ось Z направим по радиусу трубы. Тогда u – скорость движения слоя жидкости dr на расстоянии r от оси трубы; u_max – максимальная скорость движения по оси трубы; v – средняя скорость потока;  – касательные напряжения по радиусу r; ₀ – касательные напряжения на стенке трубы.

Рис. 6.2. Распределение касательных напряжений и скоростей

При ламинарном режиме слои жидкости движутся параллельно друг другу. Стенки труб, вдоль которых происходит движение, за счет сил межмолекулярного сцепления будут покрываться прилипшими к ним частицами жидкости. Первый пристенный движущийся слой жидкости будет скользить по частицам, прилипшим к стенке. Так как теория ламинарного движения основывается на законе Ньютона о трении внутри жидкости и трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии, то величину касательных напряжений можно определить по зависимости Н. П. Петрова

, (6.1)

где  – коэффициент динамической вязкости; – градиент скорости.

Знак минус принят потому, что u уменьшается с увеличением r. Вместе с тем величину касательных напряжений можно определить из основного уравнения равномерного движения

, (6.2)

где  – плотность жидкости; I – гидравлический уклон; R – гидравлический радиус; g – ускорение свободного падения.

Приравняем правые части уравнений (6.1) и (6.2):

. (6.3)

Гидравлический радиус для цилиндрической трубы равен , подставляя его в уравнение (6.3), получим

. (6.4)

Из уравнения (6.4) выразим

, (6.5)

после интегрирования уравнения (6.5) получим

. (6.6)

Постоянная интегрирования C определяется из условия равенства нулю скорости u у стенок трубы при r = r₀:

. (6.7)

Окончательно, подставив значение C в уравнение (6.6), получим уравнение, выражающее закон распределения скоростей при ламинарном режиме,

, (6.8)

где  – коэффициент кинематической вязкости.

Уравнение (6.8), известное как формула Стокса¹, представляет собой уравнение параболы, имеющей максимум при , т. е. по оси трубы

. (6.9)

Зная закон распределения скорости по живому сечению трубы, получим зависимость для определения расхода

. (6.10)

Зависимость (6.10), определяющая расход, носит название формулы Пуазейля².

Так как , получаем

, (6.11)

т. е. средняя скорость в трубе при ламинарном режиме равна половине максимальной скорости, наблюдаемой на оси. Преобразуем зависимость (6.11)

, (6.12)

Откуда , (6.13)

где h_l – потери напора по длине.

Зависимость (6.13), определяющая величину потерь напора при ламинарном режиме движения, показывает, что потери напора при ламинарном режиме пропорциональны первой степени средней скорости, зависят от рода жидкости, обратно пропорциональны площади сечения трубы и не зависят от шероховатости стенок трубы.

Преобразуем зависимость (6.13), умножив числитель и знаменатель на и перегруппировав сомножители:

.

Учитывая, что , и обозначив , окончательно получим

, (6.14)

где  – коэффициент гидравлического трения.

Зависимость (6.14) называется формулой Дарси – Вейсбаха. Коэффициент  при ламинарном режиме является функцией только числа Re и с увеличением Re  уменьшается. Если в логарифмических координатах по вертикальной оси откладывать коэффициент гидравлического трения , а по горизонтальной оси – число Re, то зависимость выразится в виде прямой ниспадающей линии.