6.6. Шляхи і цикли Гамільтона

В 1857 році математик Вільям Роуен Гамільтон придумав іграшку-головоломку. Ця іграшка являла собою додекаедр – правильний багатогранник, 12 граней якого − це правильні п'ятикутники. У кожному з 20 кутів просвердлувалась дірка, у яку вставляли кілочок, що зображував місто. За допомогою мотузки було потрібно знайти шлях через міста, відвідав кожне місто один раз, і повернутися у вихідне місто. Додекаедр на площині зображується так, як показано на рис. 6.38.

Рис. 6.38.

Задача головоломки зводиться до знаходження циклу в графі, що проходить через кожну вершину, крім початкової, тільки один раз.

Визначення 6.45. Шляхом Гамільтона (або гамільтоновим ланцюгом) називається простий ланцюг, що проходить через всі вершини графа, з початком і кінцем у різних вершинах .

Визначення 6.46. Цикл Гамільтона ‑ це простий цикл, що проходить через всі вершини графа .

Гамільтонів цикл у деякому змісті протилежний ейлерову циклу, що проходить через всі ребра один раз, хоча до певного моменту обидва цикли можуть здаватися схожими. Цикл Гамільтона виявляється набагато складніше, і для його знаходження поки немає ефективних алгоритмів, що вимагають істотно меншого часу, чим пряме перебирання варіантів. Проте приведемо ряд теорем без доведення, що дозволяють нам судити про можливість відшукати гамільтонів цикл у досліджуваному графі. А для початку покажемо один з варіантів рішення головоломки, запропонованої Гамільтоном (рис. 6.39).

Рис. 6.39.

Теорема 6.5. Для будь-якої вершини із циклу Гамільтона існує рівно два ребра із цього циклу, інцидентні даній вершині.

Визначення 6.47. Граф, що має цикл Гамільтона, називається гамільтонів.

Виходячи з наведеного визначення, як наслідок теореми 6.5, робимо висновок про те, що будь-який граф, що має вершину степені 1, не є гамільтонів. Помітимо також, що для того, щоб граф мав цикл Гамільтона, необхідно, щоб він був зв'язним.

Приклад 6.23. Граф Петерсона, зображений на рис. 6.40,а, має шлях Гамільтона (рис. 6.40,б), але не має цикл Гамільтона.

(а) (б)

Рис. 6.40.

Теорема 6.6. Якщо граф має ребро розрізу, то він не може мати цикл Гамільтона. Якщо компоненти графа, отримані шляхом видалення ребра розрізу, мають цикл Гамільтона, то граф має шлях Гамільтона.

Теорема 6.7. Якщо ‑ зв'язний граф з вершинами і для кожної пари несуміжних вершин , сума степенів вершин задовольняє умові , тоді граф має цикл Гамільтона.

З теореми 6.7 випливає наслідок, більш відомий, чим сама теорема.

Наслідок. Якщо ‑ зв'язний граф з вершинами і для кожної

вершини виконується умова , то граф має цикл Гамільтона.

Приклад 6.24. Знайдіть цикл Гамільтона, якщо він існує, для графа , зображеного на рис. 6.41,а.

(а) (б)

Рис. 6.41.

Рішення: Граф ‑ зв'язний, кількість вершин графа – . Степінь кожної з вершин дорівнює 3, тобто кожна з вершин графа задовольняє умові . Отже, даний граф є гамільтонів, тобто існує цикл Гамільтона. Знайти

його можемо тільки методом перебирання. Результати прямого перебирання – цикл (рис. 6.41,б).

Практичне застосування циклів Гамільтона знаходимо в рішенні класичної задачі комівояжера, яка цікава для людей, у чиє коло обов'язків входить знаходження оптимальних шляхів, наприклад, об'їзду філій фірми, транспортування вантажів, доставки товарів і інше.

Задача комівояжера. Комівояжер повинен відвідати кілька міст і повернутися у вихідний пункт. Відстані між містами відомі. Потрібно знайти дорогу найкоротшої довжини. При такій постановці задачі схема доріг являє собою граф, у якій будь-якому ребру запропонована певна довжина . Задача комівояжера зводиться до знаходження в отриманому графі із заданими довжинами ребер циклу Гамільтона мінімальної довжини.

Існує ряд алгоритмів, досить громіздких, що дозволяють знаходити найкоротший шлях від вершини до вершини , таких як алгоритми Дейкстри, Флойда-Уоршолла і т.п. Але ефективних алгоритмів, для пошуку циклу Гамільтона мінімальної довжини немає. Через їхню відсутність, щораз цю практичну задачу доводиться вирішувати методом прямого перебирання.

Вправи:

1. Знайдіть цикл Гамільтона, якщо він існує, для кожного з наведених графів. Рис. 6.42, а) − е).

а) б) в)

г ) д) е)

ж) з) к)

Рис. 6.42.

2. Знайдіть шлях Гамільтона, якщо він існує, для кожного з наведених графів. Рис. 6.42, ж) – к).