28. Дифференцируемость ф-ии необходимое и

достаточное условие:

над. дифференц. в т. если она имеет конечную

производную.Ф-ия дифф. во всех т. наз. дифференцируемой

на всем числовом множестве .

Из определения производной:

; ;в связи с этим:

(*)

-дифференциал ф-ии в т.

Диф-ал-главная часть приращения ф-ии.

Теорема о непрерывности дифференцируемой ф-ии:

Если ф-ия дифф. В т. ,то она непрерывна.

; ;

29 Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

Инвариантность формы записи дифф-ла-не известно!

30 Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

31.Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

32 Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

33.Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы:

34.Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

Пусть имеет обратную ф-ию на

Рассмотрим отнош.

Рассмотрим обратные тригонометрические ф-ии.

36.Логарифмическое дифференцирование:

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^(x) - показательно-степенная ф-ция.

Ln y=x ln x - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(ln y)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

37.Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x²-1 - явные

F(x,y)=0, a²=x²+y² - неявные ф-ции.

1)a²=x²+y² - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x³-3xy+y³=0

3x³-3(xy)`+3y<sup>2</sup>*y`=0 //:3

x²-(x`y+y`x)+y²*y`=0

y`y<sup>2</sup>-xy`=y-x²

y`=(y-x²)/(y²-x)

38.Параметрическое дифференцирование.

Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’_t(t0)/x’_t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’_t(t0)t’_x(x0); t’_x(x0)=1/x’_t(t0) Ф(э(х0)=y’_t(t0)/x’_t(t0) x’(t0)0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’_x|x=0=(y’t/x’)’ _x|_x=x0=(y’_t/x’_t|_t|_t=t0t’_x|_x=x0=y’’_tt(t0)x’_t(t0)-y’_t(t0)x_tt’’(t0)/(x’_t(t0))