5.2. Двойные и тройные интегралы в Maple

Задача 1. Найти площадь ограниченную параболой x=2y^2 и линией x=y+3.

Решение 1.

Нарисуем эту область

> restart:

> x1:=2*y^2: x2:=y+3:

> plot({[x1,y,y=-2..2],[x2,y,y=-2..2]});

Найдем точки пересечения кривых (пределы интегрирования)

> solve({x=2*y^2,x=y+3});

> s:=Int(Int(1,x=2*y^2..y+3),y=-1..3/2);

> value(s);

Задача 2. Найти среднее значение функции f=y ch (x) над областью, ограниченной кривыми x=0 , y=2 , y=sqrt(x).

Решение 2.

Посмотрим на эту область

> restart:

> plot({[0,t,t=-1..2.5],

>[t,2,t= 0..5],

>[t,sqrt(t),t=0..5]},thickness=2);

Область описывается, как 0<y<2, 0<x<y^2. Вычислим среднее

> s:=Int(Int(y*cosh(x),x=0..y^2),y=0..2)/

>Int(Int(1,x=0..y^2),y=0..2);

> value(s); evalf(");

Задача 3. Найти объем тела ограниченного поверхностями f=x^2+2y^2 - сверху, и g=6-2x^2-y^2 - снизу, над кругом единичного радиуса x^2+y^2 <1

Решение 3.

Нам необходимо найти объем следующей фигуры

> restart: with(plots):

> f:=x^2+2*y^2: g:=6-2*x^2-y^2:

Нарисуем поверхности

> surf:=plot3d({f, g },x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2):

и цилиндр единичного радиуса

> cyl:=plot3d([cos(t),sin(t),z],t=0..2*Pi,z=0..6):

Выведем их на экран

> display3d({surf,cyl});

Чтобы найти объем данной фигуры необходимо вычислить интеграл

> Int(Int(g-f,y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1);

> value(");

Задача 4. Используя сферические координаты найти объем тела, ограниченного сферой с x^2+y^2+z^2=4вырезанным в ней цилиндром x^2+y^2=1.

Решение 4.

В сферических координатах сфера задается как r=2, цилиндр как r sin(f)=1 . Нам надо выразить декартовы координаты x,y,z через сферические, подставив данные значения r для сферы и для цилиндра

> restart: with(plots):

> rs:=2; rc:=1/sin(phi);

> x:=sin(phi)*cos(theta);

> y:=sin(phi)*sin(theta);

> z:=cos(phi);

Зададим точку на сфере и цилиндре

> sf:=[rs*x,rs*y,rs*z]:

> cyl:=[rc*x,rc*y,2*phi-Pi]:

Нарисуем сферу и цилиндр

> plot3d({sf,cyl},theta=0..2*Pi,phi=0..Pi);

Вычислим пределы интегрирования, решив систему уравнений

> _EnvAllSolutions := true:

> solve({r=2,r*sin(phi)=1});

здесь B1 и Z1 целые числа. Таким образом, наша фигура может быть получена вращением следующего сегмента вокруг оси Z

> plot({[rs*sin(v),rs*cos(v),v=Pi/6..5*Pi/6],

> [1,v,v=-sqrt(3)..sqrt(3)]},-3..3,-2..2);

Вычислим ее объем

> Int(Int(Int((rho^2)*sin(phi),

> rho=1/sin(phi)..2),phi=Pi/6..5*Pi/6), theta=0..2*Pi);

> value(");

Задача 5. Используя цилиндрические координаты найти объем тела, ограниченного поверхностью (x^2+y^2)^5/2=(x^2-y^2)^2и плоскостями z=0, z=2.

Решение 5.

В цилиндрических координатах поверхность параметризуется как

r = ( cos^2 ( q ) -- sin^2 (q) ) ^ 2. Зададим параметрически ее

> restart:

> xs:=cos(2*theta)^2*cos(theta):

> ys:=cos(2*theta)^2*sin(theta):

> surf:=plot3d([xs,ys,z],theta=0..2*Pi,z=-1..3,grid=[60,5]):

и две плоскости

> planes:=plot3d({0,2},x=-1.5..1.5,y=-1.5..1.5):

Нарисуем их

> with(plots):

> display3d({surf,planes});

Посмотрим сечение

> polarplot((cos(theta)^2-sin(theta)^2)^2,theta=0..2*Pi);

Область интегрирования определить легко

0 < z < 2 , 0 < q < 2 p , 0 < r < ( cos^2 ( q ) -- sin^2 (q) ) ^ 2

Объем тела равен

> v:=Int(Int(Int(rho,rho=0..(cos(theta)^2-sin(theta)^2)^2),

> theta=0..2*Pi),z=0..2);

> value(v);

Как мы видим, главная проблема в определении пределов интегрирования. Существует несколько библиотек программ, которые позволяют находить эти пределы. Эти же пакеты предназначены для изучения векторных полей (можно посмотреть доказательство теорем Стокса, Грина и др.). Смотри www-сервер Maple Software.