2. Рекурсия

Рекурсивная функция – это такая функция, которая вызывает сама себя в момент ее создания. Рекурсия – очень мощный и удобный инструмент решения задач. Так, например, один из самых быстрых алгоритмов сортировки массива использует рекурсию. Вычислить детерминант квадратной матрицы также помогает рекурсия и т.д.

Числа Фибоначчи, которые связаны с условными кроликами:

Поколение кроликов	...	4	5	6	7	8	9	10	11	...
Число кроликов	...	3	5	8	13	21	34	55	89

Приведенный ряд специально начат не с традиционного места (первое поколение), а с четвертого поколения (три кролика), для того чтобы задать читателю вопрос, подобный тому, который стоял в задаче о факториале: «Чему равно минимальное число кроликов в популяции – каково наименьшее число Фибоначчи?» Нормальный ответ, приводимый во всех учебниках, – ноль. Но не будем спешить и напишем программу с двусторонней рекурсией, взяв за базовые числа Фибоначчи не традиционную пару 0 и 1, а 13 и 21.

Рис. 4.3 - Расчет чисел Фибоначчи (двусторонняя рекурсия)

Ряд кроликов Фибоначчи в «отрицательных поколениях» зеркально отображает значения в «положительных поколениях», но с переменным знаком.

Ч исла Фибоначчи в наше время широко применяются в вычислительной математике, в том числе и для иллюстрации рекурсии.

Рис. 4.4 - Расчет изящных чисел Фибоначчи (двусторонняя рекуррентность)

Использование рекурсии для поиска чисел Фибоначчи – это стрельба из пушки по воробьям. Намного эффективнее рассчитывать подобные числа в цикле, рекуррентно. На рис. 4.4 представлена программа, по которой ищутся, если так можно выразиться, изящные (fine) числа Фибоначчи.

3. Об использовании операторов break continue return

П опробуем на простых примерах показать, что ввод в язык Mathcad операторов break, continue и return (см. выше) – только полшага в сторону повышения гибкости управляющих конструкций этого языка программирования.

Рис. 4.5 - Метод Ньютона I (BASIC): цикл с выходом из середины

На рис. 4.5 приведена BASIC-программа поиска корня алгебраического уравнения методом Ньютона (касательных). Почему мы начали с языка BASIC, ведь этюд посвящен языку программирования Mathcad? Дело в том, что язык BASIC кроме традиционной тройки циклов (цикл с предпроверкой, цикл с постпроверкой, цикл с параметром) имеет и универсальный цикл с выходом из середины: Do [...] If ... Then [...] Exit Do [...] Loop. Эта конструкция наряду с другими преимуществами, о которых будет сказано ниже, позволяет реализовывать алгоритмы в их естественной последовательности. Так, в программе на рис. 6.8 объявляются функции пользователя (анализируемое уравнение y и его производная dy), запрашивается значение начального приближения к корню x и задается значение погрешности TOL. После этого организуется цикл, но не традиционный, а с выходом из середины. В цикле, следуя естественному порядку алгоритма Ньютона, рассчитывается новое приближение к корню (x1), и если оно отстает от предыдущего не более чем на величину заданной погрешности, то (Then) задача считается решенной (Exit Do). Если нет, то ведется подготовка к новому приближению (x = x1), а цикл повторяется (Loop).

При реализации на языке Mathcad этот несложный алгоритм обрастает «архитектурными излишествами», так как его приходится реализовывать функцией и «запихивать» в прокрустово ложе цикла while – см. рис. 4.6.

Рис. 4.6 - Метод Ньютона II: цикл с предпроверкой

Цикл с предпроверкой (цикл while) требует, чтобы булево выражение заголовка было определено еще до входа в цикл. А этого нет при поиске корня методом Ньютона. Приходится до входа (и для входа) в цикл писать x1 ←x + 2 × TOL. Подобным образом лгут детям (а машина тоже в каком-то смысле дитя), заставляя их что-то делать. Строку x1 ←x + 2 × TOL можно уподобить стартеру двигателя внутреннего сгорания, работающего, кстати, как и программа на рис. 4.6, циклически. Вот какими аллегориями (дитя, двигатель) обросла наша простенькая программа из-за того, что в языке Mathcad нет цикла с выходом из середины. На рис. 4.6 можно отметить и другую ненатуральность программы – постановку телеги впереди лошади: в цикле сначала приходится готовиться к новому приближению (x1 ←x), хотя еще не ясно, понадобится оно или нет, а только потом проводить его.

Операторы break, continue и return, введенные в Mathcad, призваны вернуть программе на рис. 4.6 ее естественность, но...

Рис. 4.7 - Метод Ньютона III: имитация цикла с выходом из середины

Оператор continue отличается от оператора break тем, что передает управление не в хвост, а в гриву (начало) цикла.

Остается рассказать о последней кнопке на панели программирования Mathcad 8 Pro. Нажатие на нее приводит к появлению на дисплее заготовки инфиксного оператора обработки ошибок с двумя операндами:

Суть оператора проста: если при выполнении правого операнда возникнет ошибка, то выполняется левый операнд. Этот оператор позволяет реализовывать в Mathcad-программах метод проб и ошибок.

И спробуем on error, на простом примере:

Н о оказалось, что объявленная таким образом функция y(х) возвращает нуль, а не единицу при x = 0. Дело в том, что система Mathcad, оптимизируя произведение, выдает нуль, если первый сомножитель равен нулю. Функцию y(х) нужно переписать по другому:

н о и эта запись не совсем правомочна. Проще записать:

Здесь графически решается неравенство: функция f(x) возвращает нуль не только тогда, когда логарифм меньше единицы, но и тогда, когда делается попытка взятия логарифма от неположительного числа. Можно, конечно, решить квадратное уравнение и обойти ошибку функцией или оператором if.