2. 3. Дөңгелек жүріс кезінде аяқтардың динамикасын теңестіру, қозғалыстың кезеңдері бойынша талдау

Пассивті дөңгелек жүрістің негізгі анықтамалары мен жобалау болжамдары. Дөңгелек жүріс- екі аяқты қозғалыстың ең қарапайым моделі.Бұл моделде аяқтар қатты болады, олардың тізелері мен өкшелері болмайды, бір- біріне топса арқылы қосылған. Қозғалыс екі өлшемді болады. Аяқтың жүретін жолының нүтелерімен қосылуы сұр доға ретінде болады, олардың орталықтары жермен байланысады, радиусы аяқтың ұзындығына сәйкес келеді. Қозғалысты жобалау 2.2 параграята қарастырылған.

Пассивті қозғалыс. Егер қадамдық жүйе ешқандай энергия көздерін қолданбаса, ондай қозғалыс жүйесін пассивті деп атайды. Динамика саласында ондай жүйелерді автономды деп атайды.

Орнықты жүріс. Бұл термин жүйенің ұзақ уақыт үздіксіз , құламай жүре алатынын білдіреді.

Жүріс қадамы аяқтың жерге тию және көтерілу мерзімін сипаттайды. 1 с ішінде неше рет қадам жасалғандығы, олардың ара- қатынасы өлшенеді.

Симметриялық жүріс. Егер әрбір екі қадам бірдей болса, ондай жүрісті симметриялы деп атайды. Әрбір қадамда уақыт- кеңістік сипаттамасы қайталанып отырады.

Екі буыннан құралған, екі аяқты қадамдық жүйенің дөңгелек жүрісіне қарапайым мысал келтірейік(2.9 сурет).

Екі аяқты дөңгелек жүрісті жобалағанда қолданылатын болжамдар.

Масса үш нүктеде жинақталады:

• Топсаның массасы m_H;

• Әр аяқтың массасы m, a мен b ара- қашықтығында топса мен аяқ соңында орналасқан.

Жүйенің толық массасы M_C=2m+ m_H тұрақты, осы кезде массалардың қатынасы сынақ кезінде өзгеруі мүмкінµ= m_{H /} m.

2.9 Сурет. Екі аяқты жүйенің моделі

Аяқтар бірдей. Аяқ ұзындығы L= a+ b тұрақты, бірақ ұзындықтар қатынасы β=b/a сынақ кезінде 0,1 мен 10 арасында өзгеруі мүмкін.

Жетек. Жүйеге ішкі энергия енбейді.

Сырты. Жүйе φ бұрышпен, жазықтық бетімен төмен жылжиды .

Жүріс екі кезеңнен тұрады:

• Ауысу: бұл кезеңде жүйе тірек аяғының жерге жанасқан жерінде айналады; көндігу деп аталатын екінші аяғы ілгері қарай жылжиды; тіреуші аяқ сырғанамайды; жүйе өзін баллистикалық екілік маятник ретінде ұстайды.

Аяқтың алмасуы: үдеріс тез іске асады, көндігу аяғы жерге тигенде тіреуші аяқ көтеріледі; жүйенің геометриялық құрылымы өзгермейді, тіреуші аяқтың да, көндңгу аяғының да кинематикалық моменттері өзгермейді.

Қақтығысу: көндіру аяғының жерге жанасуы ешбір сырғанаусыз,серпімсіз болады.

Призмалық буындар: тізесіз және табансыз жүйелер көндіру аяғына зиянын тигізеді. Бұл ақау призмалық тізе бұлшық еттерін аяқтың төменгі салмақсыз бөлігінде қолдану арқылы шешіледі. Екі аяқ та бірдей ұзындықта L болады.

Жүйенің динамикасына қорытынды жасамастан бұрын, бірнеше белгілеуді мысалға келтірейік.

Жанасушылық кезінде жүйевертикальді және сәйкесінше бос және тірек аяқтар арасындығы θ_ns , θ_sбұрыштар арқылы сипатталуы мүмкін. Демек, жүйе жағдайы төрт параметрлермен сипатталады: θ_ns , θ_s, _ns , _s.

Аяқтарды ауыстыру кезінде жүйе α-аяқтар арасындағы жарты бұрыш және L адым ұзындығымен сипатталуы мүмкін, α және L келесі қатынаспен байланысқан L=2lsin α.

Жүйе қозғалған кезде , алдыға бағытталған оның орталық массаның жылдамдық компоненті (сыңары) ылғи өзгеріп отырады ұадам қозғалысы секілді.

Сондықтан біз циклдағы турасызықты қозғалыс аумағын анықтау үшін vәріпімен белгіленетін , алға қозғалу орта жылдамдық түсінігін енгіземіз.

2ⁿ периодтық жүріс жағдайында v – константа. Егер n=0 яғни,жүріс бір периодты, v–ны L/Tсияқты есептеледі (Т-период шага). Улкен белгілер үшін n: k-қадам счетчигі).Хаостық жүрісте v-ныесептеу мүмкін емес. Ол кезде v-ның тек орта белгісі туралы айтуға болады.

Тасмалдау кезеңі.

Аяқтар бірдей деп есептеледі,сондықтан кай аяқ тірек болып табылатынына қарамастантеңдік бірдей.Екінші түрдегі (рода) Лагранж тендеуін қолданып,динамикалық теңдік аламыз:

- = 0, (2,16)

Мұндағы, L-лагранж, ол өзімен потенциалдық және кинетиклық энергияның әр түрлілігін көрсетеді (L=Т-П).

Кинтикалық энергия үшін теңдік түрі [16-18]:

(2,17)

Мұндағы,

Потенциалдық энергия үшін теңдік түрі:

(2,18)

Кинетикалық энергия теңдігіне жылдамдық сипаттамасын қойсақ, келесіні аламыз:

T= ²_ns mb²-2 _{ns s}mlb cos (θ_s -θ_ns) + ²_s (m_H l²+m(l²+a²)).(2,19)

(2.19) формуладан П үшін теңдік шегріп және екінші түрдегі Лагранж теңдуін қойсақ, динамикалық жүйенің екі теңдеуін аламыз:

- Ӫ_ns mlb cos (θ_s - θ_ns) + ²_ns mlb sin(θ_s - θ_ns) + Ӫ_s (m_H l² +m (l²+a²)) + m_H glsin θ_s -mga sin θ_ns -mgl sin θ_ns =0,(2,20)

- Ӫ_ns mb²- Ӫ_s mlb cos (θ_s - θ_ns)+ + ²_s mlb sin(θ_s - θ_ns)mgb sin θ_ns =0

Бейсызықты дефференциалды теңдіктер жүйесі екінші тәртіпке ие. Оның аналиткалық дәл шешімін шешімін алу мүмкін емес. Аналитикалық шешімін алу үшін, бүрыштар нөлден аз айырмашылығы бар деп болжап,(2.20) теңдеуді сызықтандырамыз .

Сызықтандырамыз нәтижесінде теңдеулер жүйесін аламыз:

-Ӫ_ns mlb+ Ӫ_s (m_Hl²+m(l²+a²))- m_H glθ_s- mga θ_s- mgl θ_ns=0,

- Ӫ_ns mb²-Ӫ_s mlb-mgb sin Ӫ_ns=0. (2,21)

Көрсетілген теңдіктер негізінеде жүріс үрдісінің сипаттамасы аяқтардың ұзындығы мен оның массасына байланысты емес, ал келісі қатынасқа μ=m_H/m масса және β= b/aұзындық байланысты екені тағайындалған.

Аяқтарды ауыстыру кезеңдері.

Аяқтардың ауысуы кезінде ауыстырылатын аяғының жермен жанасуы және тірек аяғының жерден үзілуі болады,осы кезде ауыстырылатын аяғы тіреу аяғына айналады және керісінше.

Аяқтардың ауысуы кезінде жүйе жағдайы төрт параметрмен сипатталады:

Ө^-_s,Ө^-_ns– аяқтардың ауысуы алдыңдағы вертикальмен тірек және ауыстырылатын аяқтарының бұрышы;

^-_s, ^-_ns – аяқтардың ауысуы алдыңдағы тірек және ауыстырылатын аяғының бұрыштық жылдамдығы;

Аяқтардың ауысқаннан кейін жүйе жағдайы төрт параметрмен сипатталады:

Ө⁺_s,Ө⁺_ns–аяқтардың ауысуқанан кейін вертикальмен тірек және ауыстыру аяқтарының бұрышы;

⁺_s, ⁺_ns–аяқтардың ауысуқанан кейін тірек және ауыстыру аяғы бұрыштық жылдамдығы;

Аяқтардын ауысар алдындағы және ауысқаннан кейінгі бұрыштары келесі қатынаспен байланысты:

^-_s=Ө^-_ns;Ө⁺_ns= ^-_s;

Кинетикалық момент жүйесінің шартын сақтау арқылы аяқтардың ауысуын үрдісін сипаттайтын келесі теңдікті аламыз;

m_h ^-_h ^-_h +m( ^-_s ^-_s+ ^-_ns ^-_ns) = m_h ⁺_h ⁺_h +m( ⁺_s ⁺_s+ ⁺_ns ⁺_ns),

m ^-_hs ^-_s= m ⁺_hs ⁺_s,(2,22)

Мұнда векторлар аяқтардың ауысуына дейін жағдайды сипаттайды:

^-_h =-l sinӨ^-_ns + l cos Ө^-_ns – жер мен тіреy емес аяқтын соңынан топса (шарнир) (буын) дейінгі векторы;

^-_s =(b sinӨ^-_s + l cos Ө^-_ns ) –тірек емес аяқтынсоңынан тірек аяғының ц.м.дейінгі векторы;

^-_ns =-a sinӨ^-_ns + a cos Ө^-_ns –тірек емес аяқтын соңынантірек емес аяғының ц.м.дейінгі векторы;

^-_ns =-b sinӨ^-_s + a cos Ө^-_ns –буын топсасынан тірек аяғының ц.м.дейінгі векторы;

Аяқтардын ауысуынан кейін жағдайды сипаттайтын векторлар:

⁺_h =-l sinӨ⁺_ns + l cos Ө⁺_ns –жермен тірек аяқтын соңынан топса (шарнир) (буын) дейінгі векторы;

⁺_s = (b sinӨ⁺_s + l sin Ө⁺_ns ) –тірек аяғытын соңынан тірек емес аяқтын ц.м.дейінгі векторы;

⁺_ns =- a sinӨ⁺_ns + a cos Ө⁺_ns –– тірек аяқтын соңынан тірек аяғының ц.м.дейінгі векторы;

^-_hns = b sin Ө⁺_ns + b cos Ө⁺_ns –– – буын топсасынан тірек емес аяғының ц.м.дейінгі векторы;

Формулаға векторлар мен жылдамдықты қойсақ, аяқтардың ауысуы кезіндегі бұрыштық жылдамдық теңдеулер жүйесін аламыз:

⁺= + ,

⁺= . (2.23)

Жылдамдық теңднулерің шешу. (2.21) теңдеулер жүйесін ынғайлы түрге келтіреміз:

(2.24)

a₁= ; a₂ ; (2.25)

a₃= ; a₄= ;

(2.24) жүйесі дифференциалдық теңдеулер теориясының белгілі әдістерімен шешіледі.