3.14 Действующие значения периодических несинусоидальных токов, напряжений и эдс

О значениях периодических токов, напряжений и ЭДС судят по их действующим значениям.

Действующее значение периодического тока есть среднее квадратичное значение этого тока за период:

. (3.67)

Раскладывая i(t) в ряд Фурье, имеем:

, (3.68)

так как при q ≠ s

.

Действительно, при q ≠ s мы получаем интегралы от косинусоидальных функций времени за целое число (q – s) и (q + s) периодов. Такие интегралы равны нулю.

Итак, имеем:

, (3.69)

то есть, действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Аналогично находим действующие значения несинусоидальных напряжений и ЭДС:

и . (3.70)

Среднее по модулю значение несинусоидального тока

Под средним по модулю значением тока понимают среднее значение модуля тока за период:

. (3.71)

Для синусоидального тока среднее по модулю значение .

Коэффициенты, характеризующие форму кривых

токов и напряжений

Для оценки несинусоидальных периодических кривых токов и напряжений в электротехнике наиболее распространены следующие три коэффициента:

1) коэффициент формы К_ф определяется как отношение действующего значения к среднему по модулю значению:

К_ф = I/I_ср. (3.72)

Для синусоидального тока К_ф = π/2 = 1,11;

2) коэффициент амплитуды К_а равен отношению максимального значения к действующему значению:

К_а = i_max/I. (3.73)

Для синусоиды К_a =  ≈ 1,41;

3) коэффициент искажения K_и определяется как отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей несинусоидальной функции:

К_и = I₁/I. (3.74)

Для синусоиды К_и = 1. Для несинусоидальных тока и напряжения К_и < 1.

Кривые напряжения промышленных сетей обычно отличаются от идеальной синусоиды. В электроэнергетике вводят понятие о практически синусоидальной кривой. По стандарту напряжение промышленной сети считается практически синусоидальным, если действующее значение всех высших гармоник не превышает 5 % действующего значения напряжения основной частоты. Коэффициент искажения такой кривой с точностью до долей процента равен единице.

Электроизмерительные приборы различных систем реагируют на различные значения измеряемой величины. Приборы электродинамической, электромагнитной и тепловой систем реагируют на действующее значение измеряемой величины. Магнитоэлектрические приборы измеряют постоянную составляющую, а с выпрямителями — среднее по модулю значение. Амплитудные электродные вольтметры реагируют на максимальные значения.

3.15 Мощность в цепи несинусоидального тока

Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как средняя мощность за период:

. (3.75)

Если мгновенные значения напряжения и тока выразить в виде тригонометрических рядов, то получим:

.

Так как среднее за период значение произведения мгновенных значений синусоид различной частоты равно нулю и тригонометрические ряды абсолютно сходятся при любых частотах ω, то

,

или после интегрирования

, (3.76)

где φ_k = ψ_uk – ψ_ik.

Из этого выражения следует вывод, что активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник (постоянная составляющая рассматривается как нулевая гармоника с φ₀ = 0):

. (3.77)

Активная мощность P представляет собой энергию электрической цепи, необратимо преобразуемую в другие виды энергии, в основном тепловую и механическую. Поэтому активную мощность несинусоидального тока можно рассчитать по закону Джоуля–Ленца:

.

Кроме понятия активной мощности P по аналогии с синусоидальными токами вводится понятие полной мощности S, определяемой как произведение действующих значений тока и напряжения:

. (3.78)

Активная мощность меньше полной, исключение составляет только мощность в цепи, сопротивление которой — чисто активное, т.е.U_k = RI_k и, следовательно, S = P.

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности и иногда приравнивают к косинусу некоторого условного угла θ:

cosθ = . (3.79)

Формально можно ввести понятие реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

. (3.80)

Для несинусоидальных токов, в отличие от синусоидальных, квадрат полной мощности обычно больше суммы квадратов активной и реактивной мощностей:

.