3.12 Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Как известно, всякая периодическая функция f(ωt), удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на каждом конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье. Периодические несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи в реальных электрических цепях удовлетворяют условиям Дирихле. Поэтому, например, для периодической несинусоидальной ЭДС можно написать:

e(t) = E₀ + E_1msin(ωt + ψ₁) + E_2msin(2ωt + ψ₂) + E_3msin(3ωt + ψ₃) + … +

+ E_kmsin(kωt + ψ_k) + … = E₀ + . (3.60)

Первый член ряда E₀ называется постоянной составляющей ЭДС, или нулевой гармоникой, второй член E_1msin(ωt + ψ₁) — основной синусоидой, или первой гармоникой, а все остальные члены ряда вида E_kmsin(kωt + ψ_k) при k > 1 носят название высших гармоник.

В последнем выражении k — номер гармоники. Он показывает, во сколько раз частота k-гармоники больше основной частоты. Основная угловая частота , где T — период несинусоидальной периодической ЭДС.

В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов, но, как правило, можно ограничиться некоторым конечным числом членов ряда.

Для вычисления коэффициентов ряда Фурье целесообразно его члены представить через синусоиды и косинусоиды без начальных фаз. Имеем

E_kmsin(kωt + ψ_k) = E_kmcosψ_ksinkωt + E_kmsinψ_kcoskωt =

= B_kmsinkωt + C_kmcoskωt.

Таким образом,

e(t) = E₀ + . (3.61)

Постоянная составляющая E₀ и коэффициенты B_km и C_km, как известно из курса математики, определяются с помощью формул:

;

B_km = ; (3.62)

C_km = .

Имея B_km и C_km, нетрудно вычислить амплитуду и начальную фазу k-гармоники:

; ψ_k = arctg . (3.63)

Аналогично можно разложить в ряд Фурье несинусоидальные токи и напряжения.

Разложение в ряд Фурье встречающихся в электротехнике периодических кривых геометрически правильной формы приведено в справочных таблицах.

В таблице 3.1 даны разложения в тригонометрический ряд некоторых простейших функций.

Таблица 3.1 — Разложение периодических функций в ряд Фурье

№	График f(ωt)	Разложение в ряд f(ωt)
1
2

Окончание таблицы 3.1

№	График f(ωt)	Разложение в ряд f(ωt)
3		f(ωt) = =
4		f(ωt) =

Для кривых геометрически неправильной формы, заданных в виде графика, применяют графоаналитический метод определения гармоник тригонометрического ряда [1].

3.13 Расчет мгновенных значений напряжений и токов в электрических цепях при действии периодических несинусоидальных эдс

Если в линейной цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС, то расчет токов цепи распадается на три этапа.

1. Разложение ЭДС источников в тригонометрический ряд, то есть на постоянную и синусоидальные составляющие. Это означает, что источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными частотами. Так, если ЭДС (рисунок 3.32, а)

e = E₀ + E_1msin(ωt + ψ₁) + E_2msin(2ωt + ψ₂), (3.64)

то действие источника такой ЭДС аналогично действию трех последовательно соединенных источников ЭДС (рисунок 3.32, б):

; e₁ = E_1msin(ωt + ψ₁); e₂ = E_2msin(2ωt + ψ₂).

а) б)

Рисунок 3.32 — Замена источника несинусоидальной ЭДС последовательным соединением источников постоянной и синусоидальной ЭДС

2. Расчет мгновенных значений токов, возникающих в ветвях электрической цепи под действием каждой из составляющих несинусоидальной ЭДС в отдельности.

3. Нахождение мгновенных значений токов в ветвях в соответствии с принципом наложения в виде суммы мгновенных значений составляющих токов.

Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС E₀, e₁ и e₂, соответственно равны I₀, i₁ и i₂, то общий ток ветви

.

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС сводится к решению n задач с синусоидальными ЭДС, где n — число синусоидальных составляющих ЭДС различных частот, и одной задачи с постоянными ЭДС.

При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для k-гармоники в k раз больше, а емкостное, наоборот, в k раз меньше, чем для первой:

X_Lk = kωL = kX_L1;

X_Ck = .

Для постоянной составляющей E₀ индуктивное сопротивление равно нулю, а емкостное — бесконечности. Активное сопротивление также зависит от частоты — увеличивается с ростом последней вследствие поверхностного эффекта. Если расчет ведется для гармоник невысоких частот и относительно малых сечений проводов, можно не учитывать изменения сопротивления R с частотой и считать, что при всех частотах активное сопротивление равно сопротивлению при постоянном токе.

Так как каждая составляющая тока является либо постоянной величиной, либо синусоидальной функцией времени, то для расчета каждой из них в отдельности могут быть применены все методы, рассмотренные для расчета цепей постоянного и синусоидального токов. Целесообразно для расчета каждой синусоидальной составляющей в отдельности использовать комплексный метод. Закон Ома в комплексной форме для k-гармоники имеет вид:

. (3.65)

Суммировать полученные комплексы токов для отдельных гармоник нельзя, так как они имеют разные частоты. Суммировать можно лишь мгновенные значения, выраженные как функции времени.

Пользуясь этим методом, определим ток i в простейшей неразветвленной цепи с постоянными параметрами R, L, C (рисунок 3.33) при установившемся режиме в случае, когда напряжение u на зажимах цепи является периодической несинусоидальной функцией времени. Представим напряжение в виде ряда:

,

где U₀ — постоянная составляющая;

u_k = U_kmsin(kωt + ψ_uk) — k-гармоника.

Рисунок 3.33 — Электрическая цепь при действии периодического несинусоидального напряжения

Постоянная составляющая тока в этой цепи равна нулю, то есть I₀ = 0, так как конденсатор постоянного тока не проводит.

Синусоидальные составляющие тока, возникающие в цепи под действием каждой синусоидальной составляющей напряжения разных частот, найдем, используя закон Ома в комплексной форме. Рассчитаем комплексную амплитуду тока k-гармоники:

. (3.66)

Записываем и , причем и φ_k = arctg , получим

.

Мгновенное значение тока k-гармоники тока имеет вид:

i_k = I_kmsin(kωt + ψ_uk – φ_k) = I_kmsin(kωt + ψ_ik).

Искомый ток определяется суммой:

.

Для наглядного представления о форме кривой несинусоидального тока необходимо рисовать графики отдельных гармоник и результирующей кривой, полученной суммированием ординат составляющих токов. При вычерчивании кривых отдельных гармоник следует всегда иметь в виду, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложено ωt, то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов ψ_k надо откладывать углы ψ_k/k. В качестве примера построим график несинусоидального тока, состоящего из двух гармоник (рисунок 3.34):

i = 12sin(ωt + 120°) + 4sin(2ωt + 90°) А.

Рисунок 3.34 — Построение графика несинусоидального тока

При построении графика тока второй гармоники i₂ учтено, что период этой гармоники в 2 раза меньше периода тока первой гармоники i₁ и начальная фаза второй гармоники (90°) разделена на номер гармоники (90°/2 = 45°).