3.3 Частотные характеристики последовательного колебательного контура

Для техники связи, автоматики и т.п. практическое значение имеет зависимость режима цепи, в которой возможен резонанс, от частоты переменного тока. Пусть последовательный колебательный контур подключен к источнику синусоидального напряжения (рисунок 3.2), амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться от 0 до ∞. С изменением частоты напряжения источника будут меняться реактивные сопротивления, а следовательно, и полное сопротивление. Зависимости сопротивлений цепи от частоты называются частотными характеристиками цепи.

Так как ток цепи, падения напряжений на отдельных элементах цепи зависят от сопротивлений, то их изменение, связанное с изменением частоты приложенного напряжения, вызовет изменение тока и падений напряжений. Зависимости тока и напряжения от частоты называют резонансными кривыми. На рисунке 3.4 представлены частотные характеристики X_L = f(ω), X_C = f(ω) и X = f(ω), где X = X_L – X_C.

Рисунок 3.4 — Частотные характеристики реактивных сопротивлений

Так как X_L = ωL, то при изменении частоты частотная характеристика X_L(ω) представляет собой прямую, выходящую из начала координат.

Емкостное сопротивление имеет обратную зависимость от частоты X_C =  . При ω = 0 X_C стремится к бесконечности, при ω = ∞ X_C стремится к нулю. Результирующее реактивное сопротивление определяется разностью индуктивного и емкостного сопротивлений: X = X_L – X_C. Точка пересечения характеристики X(ω) с осью абсцисс определяет резонансную частоту ω₀. В интервале частот от 0 до ω₀ реактивное сопротивление носит емкостной характер и изменяется от –∞ до 0, в связи с чем угол сдвига фаз будет изменяться от –90° до 0°. При изменении частоты от ω₀ до ∞ реактивное сопротивление носит индуктивный характер и изменяется от 0 до +∞. Угол сдвига фаз при этом изменяется от 0° до 90°. Вследствие изменения реактивного сопротивления будет меняться ток цепи, а следовательно, и напряжения на элементах. На рисунке 3.5 представлены резонансные кривые последовательного контура.

Рисунок 3.5 — Резонансные кривые последовательного контура

Ток для цепи (рисунок 3.2) определяется как:

.

При ω = 0 X = –∞ и ток равен нулю. По мере убывания реактивного сопротивления ток нарастает, принимает свое максимальное значение при ω = ω₀, т.е. резонансной частоте, и далее убывает до нуля по мере увеличения реактивного сопротивления.

Зависимость U_R(ω) повторяет кривую I(ω), так как U_R = IR.

При наличии в колебательном контуре активного сопротивления максимальные значения напряжений на емкостном и индуктивном элементах будут возникать при частоте несколько отличной от частоты резонанса (рисунок 3.5), так как эти напряжения определяются двумя величинами — током и сопротивлением, зависящими от частоты,

U_L = IX_L = IωL, U_C = IX_C = I .

При ω = 0 X_L = 0, ток I = 0, следовательно, U_L = 0. По мере увеличения частоты от 0 до ω₀ ток и индуктивное сопротивление нарастают, следовательно, U_L тоже нарастает. Далее ток убывает, но за счет нарастания X_L напряжение U_L может далее расти до своего максимального значения, а затем уменьшается. При ω = ∞ ωL = ∞, ток равен нулю, напряжения на активном и емкостном элементах равны нулю, следовательно, U_L = U.

Рассмотрим зависимость U_C(ω). При ω = 0 X_C =  = ∞, ток отсутствует, поэтому U_C = U. При нарастании ω от 0 до ∞ X_C уменьшается, напряжение U_C вначале увеличивается за счет увеличения тока, достигает некоторого максимума при определенной частоте, а далее убывает до нуля (при ω = ∞). Следует заметить, что максимумы напряжений U_C и U_L равны, т.е. U_Cmax = U_Lmax. Используя выражения напряжений U_C и U_L, можно определить ту частоту, при которой возникают их максимальные значения. В частности, напряжение на емкости

. (3.10)

Наибольшему значению напряжения U_C как функции частоты ω соответствует минимум подкоренного выражения в формуле (3.10). Следовательно, чтобы определить условия максимума напряжения U_C, нужно приравнять к нулю первую производную по частоте ω от подкоренного выражения:

2ωR²C² + 4ω²L²C² – 4ωLC = 0. (3.11)

На основании (3.11) искомая угловая частота, при которой возникает максимум напряжения U_C, будет определяться как:

ω_C = . (3.12)

Таким образом, напряжение на емкости будет иметь наибольшее значение при угловой частоте ω_C меньшей, чем угловая частота собственных колебаний (рисунок 3.5). Аналогично можно найти частоту ω_L, при которой будет наблюдаться максимум напряжения на индуктивности, используя выражение:

. (3.13)

. (3.14)

Следовательно, напряжение на индуктивности принимает максимальное значение при частоте большей, чем частота собственных колебаний (рисунок 3.5), ω_L > ω₀. На вид резонансных кривых влияют параметры цепи R, L и C, что следует из анализа формул (3.10)–(3.14). Чем менее активное сопротивление цепи R, чем больше добротность контура Q, тем ближе вершины резонансных характеристик и тем острее эти характеристики.