2.9.3 Законы Кирхгофа в матричной форме

Используя узловую и контурную матрицы, можно записать законы Кирхгофа в матричной форме.

В узловой матрице графа электрической цепи число строк равно числу узлов за вычетом одного, а это соответствует числу уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Кроме того, узловая матрица показывает, какие ветви включены к тому или иному узлу и как направлены токи в них.

Следовательно, если умножить узловую матрицу A на матрицу-столбец токов ветвей I_b и затем просуммировать произведения по строчкам, то получим совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа.

Равенство

(2.32)

выражает первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Пример 1

Для графа (рисунок 2.34) составленного для электрической цепи (рисунок 2.32, а), записать первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Рисунок 2.34 — Граф электрической цепи

Решение

Составляем узловую матрицу A, взяв за базисный узел — 4 и матрицу токов ветвей :

; .

Найдем произведение матриц A и :

.

Просуммировав произведения матриц по строкам, получаем выражения

что соответствует уравнениям, составленным по первому закону Кирхгофа для цепи (рисунок 2.32, а).

Если матрицу контуров B умножить на матрицу-столбец напряжений U_b ветвей, затем просуммировать элементы полученной матрицы по строкам, то можно получить уравнения, отвечающие второму закону Кирхгофа.

В любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю.

Таким образом, равенство:

(2.33)

выражает второй закон Кирхгофа в матричной форме.

Пример 2

Записать второй закон Кирхгофа в матричной форме для графа (рисунок 2.34).

Решение

Составляем матрицу контуров B и умножаем ее на матрицу — столбец напряжений U_b ветвей.

Просуммировав произведения матриц по строкам, получаем выражения, соответствующие уравнениям, составленным по второму закону Кирхгофа:

; .

2.9.4 Закон Ома в матричной форме

Рассмотрим участок электрической цепи (рисунок 2.35), включающий в себя пассивный элемент , источник ЭДС и источник тока .

Рисунок 2.35 — Участок электрической цепи

На основании второго закона Кирхгофа напряжение на зажимах ветви при указанных направлениях токов

,

или

. (2.34)

Уравнение (2.34) можно записать через проводимость:

. (2.35)

Если между ветвями нет индуктивных связей, то уравнения вида (2.35) можно записать для каждой ветви цепи. Таким образом, если цепь содержит N ветвей, то получится система из N уравнений, которая в матричной форме выглядит следующим образом:

, (2.36)

Исходя из уравнения (2.33), аналогичным путем получим

, (2.37)

где , , , — столбцовые матрицы;

, — диагональные матрицы сопротивлений и диагональные матрицы проводимостей.

Соотношения (2.36) и (2.37) представляют собой закон Ома в матричной форме.

Уравнения Кирхгофа в матричной форме вместе с уравнениями, которые представляют собой закон Ома в матричной форме, составляют полную систему уравнений линейной цепи в матричной форме.