2.9 Матричный метод расчета линейных электрических цепей (для самостоятельной работы)
2.9.1 Геометрия электрических цепей
Описывая электрическую цепь уравнениями Кирхгофа, можно убедиться, что их вид зависит от геометрической структуры цепи.
Условимся изображать ветви электрической цепи в виде отрезков линий (прямых или дуг) независимо от того, имеет ли ветвь только пассивные элементы или включает в себя и источники ЭДС. Если ветвь содержит в себе идеальный источник тока, т.е. внутреннее сопротивление Rb = ∞, то эта ветвь не изображается.
Составленная таким образом геометрическая фигура называется графом (рисунок 2.29), т.е. граф цепи — это геометрическая фигура, образованная ветвями или ребрами, которые изображают ветви электрической цепи.
Точки соединения ветвей называют узлами.
Различают ненаправленный и направленный графы.
Ненаправленный граф — это геометрическая фигура, где ветви не имеют направления (рисунок 2.29, б).
Каждой ветви графа можно придать определенное направление, ориентацию. Это направление выбирают произвольно. Направление ветви будет совпадать с условно положительным направлением тока в данной ветви.
Граф, у которого каждая ветвь имеет обозначенное стрелкой направление, называют направленным графом (рисунок 2.29, в). Для направленного графа можно записать уравнения на основании первого и второго законов Кирхгофа.
Чтобы выбрать независимые контуры для составления уравнений по закону Кирхгофа, вводят понятия «дерево графа», «пути» и «ветви связи».
Если из графа удалить минимальное число ветвей так, чтобы сохранить все узлы, но разрушить замкнутые контуры, то полученная геометрическая фигура будет называться деревом графа. Для графа (рисунок 2.29, в) деревья имеют вид, представленный на рисунке 2.30.
a)
б) в)
Рисунок 2.29 — Схема электрической цепи (а) и ее ненаправленный (б) и направленный (в) графы
а) б) в)
Рисунок 2.30 — Примеры деревьев графа
Как видно, число ветвей дерева оказывается равным числу узлов за вычетом 1, т.е. числу независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Непрерывная последовательность ветвей между двумя узлами графа при условии, что любой другой узел встречается не более одного раза, образует путь. Для части графа, составляющей дерево, между парой узлов существует только один путь. Между узлами 1 и 3 (рисунок 2.30, а) существует один путь, образованный ветвями 5 и 6.
При образовании дерева графа указанные ветви называют главными ветвями графа, или ветвями связи. Добавление к дереву одной главной ветви графа образует замкнутый контур, а добавление каждой следующей главной ветви дает еще один или несколько новых замкнутых контуров.
Для дерева (рисунок 2.31) пунктиром указаны ветви связи. Количество ветвей связи — три.
Если в каждый контур кроме ветвей дерева войдет одна из ветвей связи, не входящая в другие контуры, то получим так называемые главные контуры.
Рисунок 2.31 — Образование контуров для дерева
Число главных контуров соответствует числу ветвей связи.
Очевидно, что число ветвей связи
,
где B — число ветвей; Y — число узлов, т.е. соответствует числу независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.
Имея направленный граф, можно составить топологические матрицы схемы (узловая, контурная и т.д.), которые позволят записать законы Кирхгофа в матричной форме.