2.8 Метод эквивалентного генератора

При расчете сложных электрических цепей, когда требуется определить ток в одной какой-то ветви, эту ветвь выделяют, а остальную цепь заменяют эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника, что схематично представлено на рисунке 2.24.

Рисунок 2.24 — Иллюстрация метода эквивалентного генератора

Для такой простой цепи

. (2.30)

Задача состоит в определении и через заданные ЭДС и сопротивления сложной схемы. Заменим выделенную прямоугольником часть сложной схемы активным двухполюсником. Ток в ветви не изменится, если в ветвь включить две равные и противоположно направленные ЭДС и (рисунок 2.25). На основании принципа наложения ток можно представить в виде суммы двух токов и .

Рисунок 2.25 — Схема преобразований на основании принципа наложения

В преобразованных схемах учтены все ЭДС исходной схемы, поэтому один двухполюсник принят активным, а другой — пассивным.

Ток вызван всеми ЭДС активного двухполюсника и ЭДС , а ток — только ЭДС .

В пассивном двухполюснике отсутствуют ЭДС, но учитываются внутренние сопротивления источников.

Из преобразованной схемы с активным двухполюсником для участка ab по закону Ома ток в цепи

.

Выберем такое значение ЭДС , чтобы ток был равен нулю. Отсутствие тока в ветви ab означает ее размыкание, иначе — холостой ход.

Напряжение на зажимах ab при холостом ходе ветви обозначим . Следовательно, если принять , то .

Тогда ток .

Но ток из второй схемы с пассивным двухполюсником

,

где — входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов ab.

Но по условию , а .

Следовательно,

. (2.31)

Сравнивая формулы (2.30) и (2.31) находим, что и .

Метод расчета тока в выделенной ветви, основанный на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором, принято называть методом эквивалентного генератора, (это название используется чаще), методом активного двухполюсника или методом холостого хода и короткого замыкания.

Расчет электрической цепи методом эквивалентного генератора осуществляют в такой последовательности. Размыкают ветвь, в которой требуется определить ток. Находят напряжение на зажимах разомкнутой ветви , используя второй закон Кирхгофа. Для этого токи в оставшихся ветвях схемы рассчитывают любым методом.

Затем определяют входное сопротивление Z_вх всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченных ЭДС. Если в электрической цепи имеются ветви с источником тока, то их при определении Z_вх принимают разомкнутыми, так как внутреннее сопротивление источников тока бесконечно большое. Ток в ветви определяют по формуле (2.16).

Напряжение холостого хода и входное сопротивление могут быть определены опытным путем. В эксперименте вначале размыкают ветвь ab и измеряют вольтметром напряжение . После этого закорачивают ветвь ab и амперметром измеряют ток короткого замыкания . Так как сопротивление , то .

Пример

Определить показания амперметра в ветви электрической цепи (рисунок 2.26), если R₁ = R₂ = 10 Ом; X_L = 10 Ом; X_C1 = 10 Ом; X_C2 = 10 Ом; E₁ = 100 В; E₂ = 200 В.

Рисунок 2.26 — Схема электрической цепи

Решение.

Для определения тока в одной ветви сложной цепи целесообразно воспользоваться методом эквивалентного генератора.

Удалив из цепи ветвь ab с искомым током и закоротив все ЭДС, получим схему (рисунок 2.27), для которой определим входное сопротивление Z_вх относительно точек a и b:

Ом.

Рисунок 2.27 — Схема электрической цепи при разомкнутой ветви ab и закороченных ЭДС

Для определения напряжения холостого хода U_abxx на зажимах разомкнутой ветви представим схему в виде, изображенном на рисунке 2.28, и обозначим токи в ветвях.

Рисунок 2.28 — Схема электрической цепи для определения токов и напряжения холостого хода

Токи в ветвях определим по закону Ома:

А;

А.

Напряжение определим из выражения по второму закону Кирхгофа:

В.

В итоге, используя расчетную формулу метода эквивалентного генератора, можно определить ток в данной ветви ab:

А.

Показания амперметра равны действующему значению тока, поэтому I = 5 А.

Замечание по расчету сложных цепей постоянного тока

Расчет сложных электрических цепей при воздействии источников с постоянными во времени ЭДС и токами в установившемся режиме проводят, используя все вышеизложенные методы расчета сложных цепей при синусоидальных ЭДС и токах. Если речь идет о расчете цепи, представленной в виде участков, где индуктивности и ёмкости не обладают потерями, т.е. идеальны, то участки с индуктивностями следует считать короткозамкнутыми, а участки с ёмкостями — разомкнутыми. Это вытекает формально из выражений для сопротивлений X_L и X_C при угловой частоте ω→0. Действительно, при ω = 0 имеем X_L = ωL = 0; X_C = = ∞. Физически это связано с тем, что при постоянном токе в катушках не индуцируется ЭДС самоиндукции и при постоянном напряжении на зажимах идеальных конденсаторов ток через них не проходит.