2.6 Метод узловых потенциалов

Если в сложной электрической цепи количество независимых контуров больше количества узлов минус единица, то целесообразно воспользоваться методом узловых потенциалов.

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Но для этого необходимо знать потенциалы узлов схемы.

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим схему (рисунок 2.19).

Рисунок 2.19 — Схема цепи для иллюстрации метода узловых потенциалов

В данной схеме три узла. Так как любая одна точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то потенциал одного этого узла можно принять равным нулю. Допустим . Тогда число неизвестных потенциалов узлов сократилось на единицу.

Составим уравнения для первого и второго узла по первому закону Кирхгофа:

Токи в ветвях на основании закона Ома

;

;

;

;

;

.

Подставляем значения токов в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа.

Для узла 1:

.

Для узла 2:

.

После преобразований получим систему уравнений:

.

Введем обозначения:

— сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле 1;

— сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле 2;

— сумма проводимостей ветвей, соединяющих

узлы 1 и 2, взятая с отрицательным знаком;

, — узловые токи узлов 1 и 2, равные алгебраической сумме

токов, полученных от умножения ЭДС ветвей, подходя- щих к соответствующему узлу, на проводимости данных ветвей.

Если между какими-либо узлами нет ветвей, то соответствующая проводимость равна нулю.

ЭДС, направленная к узлу, принимается со знаком «+», от узла — со знаком «–».

С учетом введенных обозначений получим обобщенную систему:

(2.27)

Решив систему, определяют потенциалы узлов, а затем по закону Ома определяют токи в ветвях.

Пример 1

Составить систему уравнений по методу узловых потенциалов для схемы (рисунок 2.20).

Рисунок 2.20 — Схема цепи к примеру 1

Решение

Примем потенциал одного из узлов φ_d = 0. Система уравнений будет иметь вид:

Пример 2

Составить уравнения по методу узловых потенциалов для определения токов в ветвях схемы (рисунок 2.21).

Рисунок 2.21 — Схема цепи к примеру 2

Решение

Примем потенциал узла .

Тогда , ,

где ; ; .

После подстановки получим уравнение:

,

из которого определим . Направления токов в схеме выбираем произвольно. Значения токов определяем по закону Ома:

;

;

;

;

.

2.7 Метод двух узлов

Распространены электрические схемы, содержащие всего два узла (рисунок 2.22). В этом случае наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое принимают напряжение между двумя узлами схем, с помощью которого потом определяют токи ветвей.

Чтобы получить расчетную формулу этого метода, рассмотрим пример, схема электрической цепи которого приведена на рисунке 2.22. Определим напряжение между двумя узлами , воспользовавшись методом узловых потенциалов. Примем . Тогда уравнение будет иметь вид:

Рисунок 2.22 — Схема цепи с двумя узлами

,

или

.

Так как , то напряжение

.

В общем случае . (2.28)

Если в схеме присутствует ветвь с источником тока , то расчетная формула метода двух узлов имеет вид:

. (2.29)

Значения и подставляют в формулу положительными, если их направления в ветвях совпадают с заданным положительным направлением напряжения , и отрицательными, если не совпадают. Если в какой-либо ветви схемы ЭДС будет отсутствовать, то соответствующее слагаемое в числителе расчетной формулы исключается, но проводимость этой ветви в знаменателе остается.

Расчет цепи методом двух узлов осуществляют в такой последовательности. Задают условное положительное направление напряжения между двумя узлами и рассчитывают его, используя расчетную формулу (2.13) или (2.14). Затем задают положительные направления токов в ветвях и обозначают их на схеме. По закону Ома для участка цепи с ЭДС определяют токи в ветвях:

.

При этом и принимают положительными, если их направления в схеме совпадают с принятым направлением искомого тока .

Так, для цепи (рисунок 2.22) уравнения для определения токов в ветвях имеют вид:

; ; .

Результаты расчета токов проверяют по первому закону Кирхгофа.

Пример

Определить токи в ветвях электрической цепи (рисунок 2.23), если E₁ = 8 В, E₃ = 3 В, R₁ = R₃ = 2 Ом, R₂ = 4 Ом.

Решение

Задачу решаем методом двух узлов.

Зададим положительное направление напряжения между узлами U_ab и обозначим его на схеме.

Используя расчетную формулу метода двух узлов, определим напряжение:

В.

Рисунок 2.23 — Схема цепи с двумя узлами

Приняв произвольно направления токов в ветвях (рисунок 2.23), определим их значения, используя закон Ома:

А;

А;

А.

Результаты расчета проверим по первому закону Кирхгофа:

, или .

Значит, расчет выполнен верно. Так как ток I₃ имеет отрицательное значение, то его истинное направление противоположно указанному на рисунке 2.22.