2.2 Преобразование соединения «треугольником» в эквивалентное соединение «звездой» и обратно
Преобразование соединения «треугольником» в эквивалентное соединение «звездой». Для упрощения расчета электрической цепи в ряде случаев целесообразно осуществить преобразование некоторой ее части. При этом должно соблюдаться условие эквивалентности преобразования, которое заключается в том, что принятая часть цепи до ее преобразования должна быть эквивалентна этой же части цепи после ее преобразования и что режим в остальной, не преобразованной части остается неизменным.
Преобразованием соединения приемников «треугольником» в эквивалентное соединение «звездой» называют такую замену части цепи, соединенной «треугольником», цепью соединенной по схеме «звезды», при которой токи и напряжения и, соответственно, мощности в остальной части цепи сохраняются неизменными.
На рисунке 2.8
показан пример, когда преобразования
«треугольника» в эквивалентную «звезду»
дают возможность преобразовать
многоконтурную схему в одноконтурную.
В преобразованной схеме (рисунок 2.8, б)
сопротивления
и
,
а также
и
соединены последовательно и их можно
заменить эквивалентными, которые, в
свою очередь, соединены параллельно. В
итоге схема преобразуется в простую
(рисунок 2.8, в)
а) б) в)
Рисунок 2.8 — Упрощение схемы преобразованием «треугольника» в «звезду»
Для вывода расчетных
уравнений рассмотрим фрагмент схемы
(рисунок 2.9, а),
в которой между точками 1, 2, 3 включены
три сопротивления
,
,
,
соединенные «треугольником», а на
рисунке 2.9, б
между этими же точками включены три
сопротивления
,
,
,
соединенные «звездой».
Соединения
«треугольником» и «звездой», изображенные
на рисунке 2.9, эквивалентны друг другу
при условии, что при одинаковых в обоих
случаях напряжениях
,
и
между точками 1, 2, 3 и токи
,
и
,
подходящие к этим точкам от остальной
части цепи, одинаковы в обоих случаях.
а) б)
Рисунок 2.9 — Схемы соединения приемников «треугольником» (а) и «звездой» (б)
По второму закону Кирхгофа сумма напряжений в контуре треугольника равна нулю:
. (2.6)
По первому закону Кирхгофа для узлов 2 и 1 выразим токи:
;
,
и, подставив в выражение (2.6), определим ток:
.
Напряжение между узлами 1 и 2 «треугольника» (рисунок 2.9, а)
.
Такое же напряжение
в схеме (рисунок 2.9, б):
.
Для выполнения
условия эквивалентности необходимо
равенство напряжений
в обеих схемах при любых токах
и
,
т.е.
.
(2.7)
Равенство (2.7)
должно выполняться, если равны коэффициенты
при токах
и
.
Значит, получаем уравнения для определения
сопротивлений искомой эквивалентной
«звезды» через заданные сопротивления
«треугольника»:
; (2.8)
; (2.9)
. (2.10)
Выражения (2.9) и (2.10) получаются по аналогии в результате круговой замены индексов. Таким образом, комплексное сопротивление луча «звезды» равно произведению комплексных сопротивлений прилегающих сторон «треугольника», делённому на сумму комплексных сопротивлений трех сторон «треугольника».
Преобразование соединения «звездой» в эквивалентное соединение «треугольником». На рисунке 2.10 приведен пример, когда замена части схемы с соединением приемников «звездой» позволяет преобразовать сложную электрическую схему в одноконтурную.
а) б) в)
Рисунок 2.10 — Упрощение схемы преобразованием «звезды» в «треугольник»
Как видно, после
преобразования трех сопротивлений
исходной схемы
,
и
,
соединенных «звездой» (рисунок 2.10, а),
в эквивалентный «треугольник», получается
схема (рисунок 2.10, б),
которую можно упростить. Попарно
сопротивления
и
,
и
,
и
соединены параллельно. После их замены
эквивалентными сопротивлениями
получается схема с последовательным
соединением (
и
)
и параллельно присоединенным к ней
сопротивлением
.
В итоге схема приводится к простой
(рисунок 2.10, в).
Выражения для искомых сопротивлений «треугольника» , и через заданные сопротивления «звезды» , и можно найти в результате совместного решения уравнений (2.8), (2.9) и (2.10).
Разделив уравнение (2.8) на уравнение (2.9), а затем на уравнение (2.10), получим отношение сопротивлений:
и
.
Выражая отсюда и и подставляя их в уравнение (2.8), получим:
,
откуда
.
(2.11)
Аналогично или круговой заменой индексов получим:
(2.12)
и
.
(2.13)
Следовательно, при эквивалентном преобразовании соединения «звезда» в соединение «треугольник» комплексное сопротивление стороны «треугольника» равно сумме комплексных сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, делённого на сопротивление третьего луча.