1.15 Активная, реактивная и полная мощности. Баланс мощностей
Активной мощностью P в электрической цепи при периодических процессах называют среднее значение мгновенной мощности за период:
. (1.91)
Если напряжение на выводах цепи и ток являются синусоидальными функциями времени, то в соответствии с полученным в п. 1.14 выражением мгновенной мощности (1.90) уравнение (1.91) имеет вид:
.
Так как
,
то получаем выражение для активной
мощности при синусоидальном процессе:
. (1.92)
Полной мощностью называют величину
. (1.93)
Полную мощность в вольтамперах (ВА) указывают в паспортных данных трансформаторов.
Множитель cosφ, равный отношению активной мощности к полной, называют коэффициентом мощности.
Электрические машины, трансформаторы и другие электротехнические устройства рассчитывают на определенное номинальное напряжение U и на определенный номинальный ток I. Поэтому максимально эффективное использование генерирующих и преобразующих электромагнитную энергию устройств будет в случае, когда cosφ = 1.
Действительно, при заданной мощности P и неизменном напряжении питания U ток в цепи потребителя
(1.94)
зависит от cosφ. Чем больше cosφ, тем меньше ток в цепи и, значит, меньше потери энергии.
Максимальное повышение коэффициента мощности предприятий, являющихся приемниками электрической энергии, осуществляют путем рационального проектирования и применения современного электрооборудования, максимальной его загрузки, а также подключением компенсирующих устройств (чаще конденсаторов) параллельно нагрузке. Однако на практике обычно преобладает активно-индуктивная нагрузка (φ > 0), поэтому реальный cosφ < 1 и, как правило, активная мощность P < UI.
Физически активная мощность представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R. Следовательно, наряду с уравнением (1.92) можно для расчета активной мощности использовать выражение:
. (1.95)
Под реактивной мощностью понимают мощность, связанную с наличием в цепи переменного тока реактивных элементов, т.е. индуктивностей и конденсаторов, и созданием переменных электрического и магнитного полей:
. (1.96)
Реактивной мощностью обмениваются источник питания и приемник, состоящий из реактивных элементов. Измеряется реактивная мощность в варах (вар).
Между активной P, реактивной Q и полной S мощностями существует соотношение:
S
=
. (1.97)
Графически его можно представить в виде треугольника мощностей (рисунок 1.42).
Рисунок 1.42 — Треугольник мощностей |
Рисунок 1.43 — Треугольник мощностей на комплексной плоскости |
Таким образом,
,
или tgφ =
.
Значит, коэффициент мощности показывает,
какая часть активной мощности содержится
в полной мощности.
Расчет мощности по комплексам напряжения и тока
В результате расчета электрической цепи символическим методом получают комплексные значения напряжений и токов. Удобно найти активную и реактивную мощности, если вычислить комплексную мощность, которая равна произведению комплексного напряжения и сопряженного комплекса тока:
.
(1.98)
В уравнении (1.98) действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а коэффициент при мнимой части — реактивной. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S.
На
комплексной плоскости (рисунок 1.43)
изображает гипотенузу прямоугольного
треугольника, катетами которого служат
P
и Q.
Треугольник мощностей подобен треугольнику сопротивлений, поэтому
tgφ.
Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мощностей, т.е. сумма всех отдаваемых (мгновенных или активных) мощностей равна сумме всех получаемых (соответственно мгновенных или активных) мощностей
;
. (1.99)
Покажем, что
соблюдается баланс и для комплексных,
и, следовательно, для реактивных
мощностей. Для электрической цепи,
содержащей q
узлов, можно написать по первому закону
Кирхгофа для комплексов, сопряженных
с комплексными токами,
уравнений вида:
.
Положительные направления всех токов приняты от узла k к узлам 1, 2, …, q. Умножим каждое из этих уравнений на комплексное напряжение, отсчитываемое от соответствующего узла к узлу q:
Если учесть, что
и
,
то получим
. (1.100)
Значит, сумма комплексных получаемых мощностей во всех ветвях цепи равна нулю. Здесь все слагаемые представляют комплексные получаемые мощности, потому что вычисляются для одинаковых положительных направлений напряжений и токов. Равенство (1.100) выражает баланс комплексных мощностей. Из него следует равенство нулю в отдельности суммы получаемых активных мощностей и суммы получаемых реактивных мощностей. Поскольку отрицательные получаемые мощности представляют собой отдаваемые мощности, то отсюда следует закон баланса как активных, так и реактивных мощностей.
Таким образом, в любой электрической цепи соблюдается баланс реактивных мощностей: сумма всех отдаваемых реактивных мощностей равна сумме всех получаемых реактивных мощностей:
. (1.101)
Аналогично для комплексных мощностей
. (1.102)
При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.