1.13 Закон Ома, законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока

Выражение закона Ома в комплексной форме на основании уравнения (1.71) в общем случае имеет вид:

, (1.84)

где — комплексное сопротивление цепи.

Сформулировать закон Ома можно следующим образом: комплекс тока в цепи прямо пропорционален комплексу приложенного напряжения и обратно пропорционален комплексному сопротивлению этой цепи. Достоинством выражения (1.84) является то, что в нем учитывается связь между действующими значениями напряжения и тока и сдвиг фаз между ними.

Если напряжение и ток представлены действующими значениями, то закон Ома на основании уравнения (1.65) имеет вид:

I = , (1.85)

где — полное сопротивление цепи.

Законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока справедливы только в двух формах: для мгновенных или комплексных значений токов, напряжений и ЭДС. Не выполняются законы Кирхгофа для действующих значений.

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу цепи для мгновенных токов имеет вид:

, (1.86)

и аналогично в комплексной форме:

, (1.87)

т.е. алгебраическая сумма мгновенных или комплексных токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Формулировка закона и правила знаков аналогичны изложенным в п. 1.5.

Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи для мгновенных значений записывают в виде:

, (1.88)

и в комплексной форме:

, (1.89)

т.е. алгебраическая сумма мгновенных или комплексных падений напряжений в любом контуре равна алгебраической сумме мгновенных или комплексных ЭДС в этом же контуре.

Применение второго закона и правило знаков аналогичны приведенным в п. 1.5.

Пример 1. Определить мгновенное значение тока в цепи с последовательным соединением резистора и индуктивной катушки, если мгновенное значение приложенного к цепи напряжения u = 100 sinωt, активное сопротивление R = 6 Ом, индуктивное сопротивление X_L = 8 Ом.

Решение. Ток в цепи можно определить по закону Ома в комплексной форме:

.

Комплексное действующее напряжение

В.

Комплексное сопротивление цепи Ом.

Тогда комплексный ток

6 – j8 А.

Амплитудное значение тока А.

Начальная фаза тока .

Мгновенное значение тока i = 10 sin(ωt – 53°).

Другой вариант решения:

Ток в цепи можно определить по закону Ома для действующих значений напряжения и тока:

.

Действующее значение напряжения В.

Полное сопротивление Ом.

Тогда А.

Амплитудное значение тока А.

Сдвиг фаз между напряжением и током

.

Так как ψ_u = 0, то ψ_i = –φ = –53°.

Значит, i = 10 sin(ωt – 53°).

Лекция 5 энергетические процессы в цепях синусоидального тока

1.14 Мгновенная мощность и колебания энергии в цепи синусоидального тока

Мгновенная мощность цепи переменного тока является функцией времени. Она характеризует скорость поступления энергии к приемнику.

Рассмотрим энергетические соотношения в двухполюснике, представляющем собой последовательный RLC-контур (см. рисунок 1.34). Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол φ. Примем начальную фазу напряжения ψ_u = 0, тогда мгновенные значения напряжения и тока

u = U_msinωt, i = I_msin(ωt – φ).

Мгновенная мощность

(1.90)

Как следует из уравнения (1.90), мгновенная мощность имеет постоянную составляющую UIcosφ и гармоническую составляющую UIcos(2ωt – φ), частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока (рисунок 1.41).

Рисунок 1.41 — Мгновенные значения напряжения, тока и мощности в двухполюснике

Когда мгновенная мощность положительная, энергия поступает в двухполюсник, когда отрицательная, энергия отдается источнику.

Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в индуктивности и в емкости, входящих в состав двухполюсника.

Если двухполюсник состоит только из резистивных элементов, энергия накапливаться в нем не может. Знаки напряжения и тока в любой момент времени одинаковы (φ = 0) и мгновенная мощность всегда положительна.