1.11 Синусоидальный ток в активном, индуктивном и емкостном элементах

Синусоидальный ток в резисторе. Рассмотрим, какой сдвиг по фазе имеет ток на активном сопротивлении. Если к резистору с сопротивлением R (рисунок 1.27, а) подвести синусоидальное напряжение u = U_msin(ωt + ψ), то через него пройдет синусоидальный ток

i = sin(ωt + ψ) = I_msin(ωt + ψ). (1.39)

а) б) в)

Рисунок 1.27 — Схемы электрических цепей с активным (а), индуктивным (б) и емкостным (в) элементами

Следовательно, напряжение на выводах активного сопротивления и проходящий по нему ток имеют одинаковую начальную фазу ψ_u = ψ_i = ψ, т.е. совпадают по фазе (рисунок 1.28). Сдвиг фаз между напряжением u и током i: φ = ψ_u – ψ_i = 0.

Рисунок 1.28 — Мгновенные значения напряжения, тока и мощности в сопротивлении

В цепи синусоидального тока с резистором R не только мгновенные значения напряжения и тока, но также соответственно амплитудные и действующие значения связаны между собой законом Ома:

; ; . (1.40)

Пользуясь величиной проводимости , получаем

; . (1.41)

В комплексной форме соотношения между векторами записывают в виде:

; . (1.42)

Комплекс тока совпадает по фазе с комплексом напряжения (рисунок 1.29).

Рисунок 1.29 — Векторная диаграмма напряжения и тока для участка цепи с активным сопротивлением

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление,

p = ui = U_mI_msin²(ωt + ψ) = UI[1 – cos2(ωt + ψ)], (1.43)

имеет постоянную составляющую и косинусоидальную функцию UIcos(2ωt + ψ) с амплитудой и удвоенной угловой частотой 2ω. Как следует из (1.43), мгновенная мощность в течение полупериода изменяется от 0 до 2UI (рисунок 1.28).

Среднее значение мгновенной мощности за период называют активной мощностью:

. (1.44)

Для участка цепи с активным сопротивлением активную мощность определяют по формуле:

. (1.45)

Активная мощность измеряется в ваттах (1 Вт = 1 ВА).

Синусоидальный ток в индуктивном сопротивлении. Пусть через индуктивность L (рисунок 1.27, б) проходит синусоидальный ток

i = I_msin(ωt + ψ).

Напряжение на индуктивности будет определяться величиной ЭДС самоиндукции, взятой с обратным знаком, т.е.

u_L = –e_L = L = ωLI_mcos(ωt + ψ) = U_msin(ωt + ψ + ). (1.46)

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол π/2 (рисунок 1.30).

Рисунок 1.30 — Мгновенные значения напряжения, тока и мощности в индуктивности

Сдвиг по фазе между напряжением и током в цепи с индуктивностью положительный:

φ = ψ_u – ψ_i = .

Амплитудные и, соответственно, действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, подобным закону Ома:

U_m = ωLI_m = X_LI_m; U = ωLI = X_LI. (1.47)

Величину X_L = ωL, имеющую размерность сопротивления (Ом), называют индуктивным сопротивлением, а обратную ей величину b_L = , имеющую размерность проводимости (См), называют индуктивной проводимостью.

Тогда

; . (1.48)

В комплексной форме соотношение между векторами

; . (1.49)

Вектор напряжения опережает вектор тока на угол π/2 (рисунок 1.31).

Рисунок 1.31 — Векторная диаграмма напряжения и тока для участка цепи с индуктивностью

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность,

p_L = ui = U_msin(ωt + ψ + )I_msin(ωt + ψ) = UIsin2(ωt + ψ), (1.50)

колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2ω, имея амплитуду (рисунок 1.30). Поступая от источника питания, энергия временно (в течение четверти периода, когда мощность положительна) запасается в магнитном поле индуктивности, а затем (в следующую четверть периода, когда мощность отрицательна) возвращается в источник при исчезновении магнитного поля. Таким образом, происходит колебание (обмен) энергии между источником питания и индуктивностью, причем активная мощность P = 0.

Синусоидальный ток в емкостном сопротивлении. Если напряжение на емкости C (рисунок 1.27, в) синусоидальное: u = U_msin(ωt + ψ), — то заряд на ее пластинах также изменяется по синусоидальному закону:

q = Cu_C = CU_msin(ωt + ψ), (1.51)

и будет происходить периодическая перезарядка, сопровождающаяся прохождением зарядного тока

i = [CU_msin(ωt + ψ)] = ωCU_mcos(ωt + ψ) =

= I_msin(ωt + ψ + ). (1.52)

Следовательно, ток i опережает приложенное напряжение u на угол π/2. Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения (рисунок 1.32)

Рисунок 1.32 — Мгновенные значения напряжения, тока и мощности в емкости

Сдвиг по фазе между напряжением и током в цепи с емкостью отрицательный:

φ = ψ_u – ψ_i = .

Амплитудные и, соответственно, действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, подобным закону Ома:

U_m = I_m = X_CI_m; U = I = X_CI. (1.53)

Величину X_C = , имеющую размерность сопротивления (Ом), называют емкостным сопротивлением. Обратную емкостному сопротивлению величину b_C = ωC, имеющую размерность проводимости (См), называют емкостной проводимостью.

Следовательно,

; . (1.54)

В комплексной форме соотношение между векторами

; . (1.55)

Вектор тока опережает вектор напряжения на угол π/2 (рисунок 1.33).

Рисунок 1.33 — Векторная диаграмма напряжения и тока для участка цепи с емкостью

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения электрического поля емкости:

p_C = u_Ci = U_msin(ωt + ψ)I_msin(ωt + ψ + ) =

= × 2sin(ωt + ψ)cos(ωt + ψ)= UIsin2(ωt + ψ). (1.56)

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2ω, имея амплитуду UI (рисунок 1.32). Поступая от источника питания, энергия временно (в течение четверти периода, когда мощность положительна) запасается в электрическом поле емкости, а затем (в следующую четверть периода, когда мощность отрицательна) возвращается в источник при исчезновении электрического поля. Таким образом, происходит колебание (обмен) энергии между источником питания и емкостью, причем активная мощность P = 0.