Лекция 2 законы электрических цепей и их применение

1.4 Закон Ома для участка цепи, содержащего эдс

Ток во внешней части простейшей электрической цепи, а в общем случае — в любом пассивном элементе цепи, направлен от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом. Для цепи, представленной на рисунке 1.12, где положительные направления тока I и ЭДС E совпадают, можно определить напряжение между крайними точками участка:

U_ab = φ_a – φ_b = (φ_a – φ_c) + (φ_c – φ_b). (1.8)

Рисунок 1.12 — Схема участка цепи, содержащего ЭДС

Согласно закону Ома, φ_a – φ_c = IR, а φ_b – φ_c = E, или φ_c – φ_b = –E. Значит, U_ab = IR – E. Тогда ток на участке

. (1.9)

Аналогично для участка цепи, где положительные направления тока I и ЭДС E не совпадают (противоположны), получим

. (1.10)

На основании уравнений (1.8) и (1.9) выразим в общем виде закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС:

. (1.11)

Аналогично можно написать формулу для тока участка, состоящего из любого числа последовательно соединенных источников и приемников при заданной разности потенциалов на концах этого участка.

Если направление тока на участке цепи заранее неизвестно, то его выбирают произвольно.

В соответствии с принятыми направлениями тока I и ЭДС E₁ … E₃ (рисунок 1.13)

, (1.12)

где R_ab — эквивалентное (суммарное) сопротивление участка цепи;

— алгебраическая сумма ЭДС, действующих на том же участке.

Рисунок 1.13 — Схема участка сложной цепи

Формула (1.12) представляет собой обобщенный закон Ома для участка цепи с ЭДС.

Необходимо помнить, что значения ЭДС в уравнения (1.11) и (1.12) записывают с положительным знаком, если направление их действия совпадают с направлением тока на участке цепи. В противном случае ЭДС записывают с отрицательным знаком.

1.5 Законы Кирхгофа

Основными законами теории цепей наряду с законом Ома являются законы баланса токов в разветвлениях (узлах) — первый закон Кирхгофа — и баланса напряжений на замкнутых участках цепи (в контурах) — второй закон Кирхгофа.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется законами Кирхгофа, поэтому они должны быть основательно усвоены для отчетливого понимания всех последующих разделов курса.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлу электрической цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

. (1.13)

Суммирование распространяется на токи I в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. В уравнении (1.13) одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. Принято в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записать токи, направленные к узлу (подтекающие токи), с положительными знаками, а направленные от узла (утекающие токи), — с отрицательными. С учетом этого первый закон Кирхгофа можно сформулировать иначе: сумма токов, подтекающих к узлу, равна сумме токов, утекающих от узла:

. (1.14)

На схеме электрической цепи (рисунок 1.14) показаны три узла, в каждом из которых сходятся три ветви. Уравнение (1.13) соответственно имеет вид:

– для узла А: ;

– для узла В: ;

– для узла С: .

Рисунок 1.14 — Схема электрической цепи для иллюстрации первого закона Кирхгофа

Рисунок 1.15 — Схема электрической цепи для иллюстрации второго закона Кирхгофа

Физический смысл первого закона Кирхгофа состоит в том, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется, сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи, так как ни в каком элементе цепи ни при каком режиме электричество одного знака не может накапливаться. В подтверждение этого для цепи (рисунок 1.14) можно записать выражение первого закона Кирхгофа:

I_A + I_B + I_C = 0.

Если к узлу электрической цепи присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В этом случае уравнение первого закона Кирхгофа имеет вид:

. (1.15)

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

. (1.16)

Часто применяют другую формулировку второго закона Кирхгофа: сумма падений напряжения во всех ветвях любого замкнутого контура электрической цепи равна сумме ЭДС источников энергии, действующих в этом контуре:

. (1.17)

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа должны быть выбраны или заданы положительные направления токов и ЭДС источников энергии во всех ветвях и направление обхода контура. Необходимо соблюдать следующее правило знаков для падений напряжений и ЭДС, входящих в уравнение: ЭДС и напряжения, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, берутся с одинаковыми знаками.

В качестве примера составим уравнения по второму закону Кирхгофа для цепи (рисунок 1.15). Для левого контура, образованного двумя ветвями с элементами E₁, R₁ и E₂, R₂,

.

Для правого контура, образованного двумя ветвями с элементами E₂, R₂ и E₃, R₃, R₄,

.

Следует отметить, что уравнение по второму закону Кирхгофа можно записать и для контура, который проходит от одного узла к другому или от одной точки участка цепи и другой по окружающему участки электрической цепи пространству. Например, если необходимо определить напряжение между узлами a и b (рисунок 1.15), составим уравнение по контуру, образованному ветвью E₁, R₁ и пространством между точками a и b, представив его напряжением U_ab, т.е.

,

откуда

.

Так можно определить напряжение между любыми точками цепи. Допустим, необходимо определить напряжение между точками b и c (рисунок 1.15). Уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид:

.

Значит, .

С другой стороны, .